2.2 Решение систем линейных уравнений

MathCAD позволяет производить решение систем линейных алгебраических уравнений.

Решение таких систем можно производить как с помощью функции

lsolve , так и с помощью известных методов ( матричного метода, метода Крамера, метода Гаусса и др.).

2.2.1 Решение систем линейных уравнений с помощью функции lsolve

Напомним, что функция lsolve(A,b) решает систему линейных алгебраических уравнений A*x = b в случае существования одного решения.

Пример 2.2 Решить систему линейных алгебраических уравнений

с помощью функции lsolve.

Выполняется следующая последовательность действий:

1. Ввести матрицу системы A.

2. Ввести матрицу-столбец правых частей B.

3. Вычислить определитель матрицы А и убедиться в существовании одного решения.

4. Найти решение системы с помощью функции lsolve.

5. Проверить правильность решения умножением матрицы системы А на вектор-столбец решения.

Результаты решения задачи в Mathcad рисунке 2.2.1

Рисунок 2.2.1 - Решение систем линейных уравнений

с помощью функции lsolve

2.2.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

Решение систем линейных алгебраических уравнений можно производить в MathCAD методом обратной матрицы. Для системы из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными А*х = В, при условии, что определитель матрицы А не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x= A^-1*B.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы необходимо :

1.Сформировать две матрицы: матрицу коэффициентов и вектор-столбец свободных членов .

2. Вычислить определитель матрицы А и убедиться в том , что он не равен нулю.

3. Найти решение системы по формуле .

4.Проверить правильность решения умножением матрицы системы А на вектор-столбец решения.

Пример 2.3 Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

Введите матрицу коэффициентов и вектор-столбец свободных членов системы:

.

Вычислите определитель матрицы A. Если он не равен нулю, то вычислите вектор-столбец решений .

Результаты решения показаны на рисунке 2.2.2

Рисунок 2.2.2 - Решение системы линейных уравнений методом

обратной матрицы

2.2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера

Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель =det A матрицы системы из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными A*x=B отличен от нуля, то система имеет единственное решение x_1, x₂, …, x_n, определяемое по формулам Крамера x_i= _i/ , где _I - определитель матрицы, полученный из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов.(i=1,2…n).

Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Представить систему в матричном виде, то есть сформировать матрицу системы А и вектор правых частей В.

2. Вычислить главный определитель .

3. Сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определителя _i. При формировании вспомогательных матриц удобно скопировать матрицу А несколько раз и последовательно заменять в ней столбцы на вектор В.

4. Вычислить определители _i.

5. Найти решение системы по формуле x_i= _i / (i=1,2…n).

6. Выполнить проверку.

Пример 2.4 Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

Результаты решения данной системы приведены на рисунке 2.2.3