4.1.1.2. Задачи с одним типом управлений и двумя ограничениями (здп2)

Обобщенная формализованная запись этого типа задач имеет следующий вид:

{z = f_j(x[j])}; (4.2)

a[1,j]x[j] £ b[1]; (4.3)

a[2,j]x[j] £ b[2], (4.4)

где все a[i,j] 0, b[i]>0.

Рассмотрим примеры постановок задач этого вида.

Первой из них может быть названа производственная задача по распределению двух типов дефицитных ресурсов по способам производства нескольких видов дискретной продукции. Предлагается самостоятельно провести аналогию с такого же рода задачей, рассмотренной в предыдущем разделе.

Задача о загрузке транспорта. Необходимо составить план загрузки транспортного средства несколькими видами грузов с целью максимизации суммарной прибыли (полезности) от перевозки грузов и с учетом ограничений на суммарный объем b[I] и вес b[2] перевозимого транспортным средством груза.

Здесь - a[1,j] и a[2,j] - соответственно, объем и вес единицы груза j-го вида;

- x[j] - количество единиц планируемого для перевозки груза j-го вида;

- f_j(x[j]) - функция, определяющая прибыль от перевозки j-го груза величиной x[j].

Задача о горячем резервировании. Ставится задача организации оптимального поэлементного горячего резервирования некоторой технической системы, состоящей из n функционально необходимых элементов, характеризуемых вероятностями безотказной работы P_j (j=1,n). Цель оптимизации - максимизация вероятности безотказной работы системы с учетом ограничений на суммарную стоимость b[I] и вес b[2] резервных элементов.

В этой задаче:

- x[j] - число резервных элементов для j-ой функционально необходимой части системы (предполагается, что резервные элементы идентичны основным);

- a[1,j] и a[2,j] - соответственно, стоимость и вес одного элемента j-го типа;

Критерий оптимизационной задачи имеет следующий вид:

[1-(1-P_j)^x[j]+1].

Как видим, в исходной постановке целевая функция представляет собой не сепарабельную, а мультипликативную функцию, но приводится к сепарабельной путем логарифмирования. Преобразованная таким образом задача будет эквивалентна исходной, так как логарифм является монотонно возрастающей функцией.

Необходимо также отметить, что приведенные в этом разделе задачи при снятии одного из ограничений превращаются в ЗДП 1.

4.1.1.3. Задачи с двумя типами управлений и двумя ограничениями (здп3)

Задачи такого типа имеют вид:

f_j(x[j],y[j]); (4.5)

a[1,j]x[j] £ b[1]; (4.6)

a[2,j]y[j] £ b[2], (4.7)

где все a[i,j] 0, b[i]>0.

Одним из примеров такого типа задач является задача о распределении средств ПВО по направлениям обороны объекта. Определены n направлений противовоздушной обороны (ПВО) объекта. Необходимо оптимально распределить по этим направлениям два типа ресурсов ПВО (радиолокационные станции (РЛС) и перехватчики) с целью максимизации вероятности сохранения объекта.

В этой задаче x[j] и y[j] – соответственно, количество РЛС и перехватчиков, выделенных на j-ое направление обороны;

b[1], b[2] – общее количество РЛС и перехватчиков.

P_j(x[j], y[j]) – обобщенная запись вероятности успешного отражения атаки на обороняемый объект с j-го направления.

Формализованная запись задачи имеет следующий вид:

P_j(x[j], y[j]),

x[j] £ b[1],

y[j] £ b[2].

Преобразование целевой функции к сепарабельному виду, как и в ЗДП 2 «о горячем резервировании», осуществляется путем логарифмирования.

Другим примером является следуюшая нелинейная транспортная задача с тремя пунктами производства:

{c_1j(x[1,j]) + c_2j(x[2,j]) + c_3j(x[3,j])}

x[i,j] = a[i], (i=1,2,3);

x[i,j] = b[j], (j=1,2,…,n);

x[i,j] Î N, (i=1,2,3), (j=1,2,…,n),

где сущность и запись ограничений практически ничем не отличается от обычной Т-задачи (за исключением конкретизации одного из параметров, определяющих размерность задачи по числу ограничений первого типа: m=3);

a[i], b[j] – целые, положительные числа;

c_ij(x[i,j]) - обобщенная запись нелинейной функции затрат на перевозку продукции в объеме x[i,j] из i-го пункта производства в j-ый пункт потребления (напомним, что в обычной Т-задаче эта функция определялась в виде произведения с[i,j] x[i,j]).

Обоснованием принадлежности этой задачи к ЗДП 3 являются следующие рассуждения.

Сепарабельность целевой функции и аддитивность ограничений не вызывает сомнений.

Наличие всего лишь двух типов управлений (x[1,j] и x[2,j], j=1,2,…,n), а не трех, как на первый взгляд кажется, и всего лишь двух ограничений по этим типам управлений определяется следующими свойствами Т-задачи:

• во-первых, выполнение одного из ее ограничений является следствием выполнения всех остальных. На этом основании ограничение

x[3,j] = a[3] можно формально исключить из задачи;

• во-вторых, ограничения второго типа могут быть учтены на каждом j-ом шаге процесса оптимизации путем выражения переменной x[3,j] через переменные x[1,j] и x[2,j] (x[3,j]= b[j] - x[1,j] - x[2,j]).

В результате исходная задача приводится к следующей ЗДП 3:

-{c_1j(x[1,j]) + c_2j(x[2,j]) + c_3j(b[j] - x[1,j] - x[2,j])}

x[i,j] = a[i], (i=1,2);

x[i,j] Î N, (i=1,2), (j=1,2,…,n).