4 Аппроксимация кривой деформирования пластичных материалов степенной зависимостью

4.1 Аппроксимация диаграммы деформирования

при линейном напряженном состоянии

При сопоставлении различных способов аппроксимации диаграмм де­формирования пластичных конструкционных материалов, на которых от­сутствует площадка текучести, с экспериментальными данными было уста­новлено, что определенными преимуществами (простота, адекватность) обладает функция вида

(1)

(аппроксимация диаграммы деформирования по Рамбергу–Осгуду); здесь

p = ln(1+e_p)  логарифмическая пластическая деформация;

= s exp(p)  действительное напряжение;

K, m              постоянные материала, зависящие от температуры и скорости деформирования.

Поскольку диаграммы истинных и условных напряжений в области предела текучести практически совпадают:  , р  _p, при известном значении показателя упрочнения m коэффициент прочности K может быть найден исходя из равенства

. (2)

С другой стороны, известно, что диаграмма условных напряжений пластичного материала имеет отчетливо выраженный максимум, то есть, при в точке, соответствующей временному сопротивлению, произ­водная . Учитывая связь истинного и условного напряжений (см. выше), последнее можно представить в функции логарифмической неупругой деформации:

.

Дифференцируя это выражение по параметру р и приравнивая получив­шийся результат нулю

,

получаем

.

Соответственно определим коэффициент прочности:

. (3)

И, наконец, величина K может быть найдена путем осреднения этих двух результатов:

.

Обычно все три значения K не слишком отличаются друг от друга, тем не менее, если предполагается работать в области сравнительно небольших пластических деформаций, целесообразно использовать формулу (2), высо­ких, в частности, в области разрушения – (3). Если же вся кривая деформи­рования должна быть аппроксимирована с одинаковой точностью, следует воспользоваться последним выражением.

Опыт расчетов показывает, что для конструкционных сталей и сплавов величина показателя упрочнения m изменяется в пределах . Оказалось, что внутри данного диапазона зависимость допустимо аппроксимировать линейной функцией. В результате обработки представи­тельного набора опытных данных и определения методом наименьших квад­ратичных отклонений констант названной зависимости были получены удобные для практических расчетов выражения:

(4)

Погрешность определения показателя упрочнения по этим формулам не превышает 3%.

Как следует из вышеизложенного, действительные значения вре­менного сопротивления и напряжения в момент разрушения (истин­ное сопротивление разрыву) определяются следующими зависимостями:

;

(5)

(по-прежнему – ресурс пластичности материала; – относи­тельное сужение при разрыве).

Для пластичных материалов (у которых, как известно, ) ресурс пластичности нетрудно найти, если известно истинное сопротивление разрыву:

.

Предел пропорциональности определяют как напряжение, при котором касательный модуль становится в полтора раза меньше модуля упру­гости Е (рис. 9):

.

	Дифференцирование уравнения (1) с учетом допущения =, e =  и ис­пользованием последнего условия при­водит к выражениям для расчета предела пропорциональности: (6) или .
Рис. 9. К определению предела пропорциональности

Диаграмма деформирования малопластичных материалов имеет максимум в точке = _В, иными словами, их разрушение происходит при достижении предела прочности. В этом случае механические характерис­тики прочности и пластичности определяют (в зависимости от известных и подлежащих определению величин) следующим образом:

.

Сопротивление материала динамическим (ударным) нагрузкам вполне объективно характеризуется отношением

,

где – работа напряжения при пластическом деформировании элемента объема до величины, отвечающей временному сопротивлению _B (определяет соответствующую диссипацию энергии); – работа напряжения на соответствующей упругой деформации.

Понятно, что чем больше величина , тем выше «энергоемкость» и демпфирующая способность материала и, значит, тем лучше он противо­стоит динамическому воздействию. При аппроксимации кривой деформи­рования степенной зависимостью (1) величина может быть подсчитана по формуле

.