В том случае, когда вектор представим в виде произведения , уравнение (1) преобразуется в линейное нестационарное уравнение

(2)

матрицу при этом называют матрицей состояний.

Уравнение (2) становится линейным стационарным, когда матрица состояний и матрица коэффициентов усилений не зависят от времени,

(3)

b) Линейный фильтр Лф1 описывают дифференциальным и алгебраическим уравнениями:

(4)

Дифференциальное уравнение описывает частотно-избирательные свойства фильтра, алгебраическое уравнение – процесс на выходе фильтра, процесс “наблюдения”. Выход фильтра, процесс подают на вход нелинейного преобразователя – НП.

c) Нелинейный преобразователь представляет собой модулятор, осуществляет модуляцию сигнала – носителя сообщения сигналом ,

Модуляция может различной: амплитудной, угловой. В результате модуляции сигнала возникают различные частотные составляющие, некоторые из них могут выходить за рамки полосы частот, разрешенной для передачи по радиолинии связи. Поэтому сигнал с выхода нелинейного преобразователя подают на вход фильтра Лф2, осуществляющего формирование сигнала, подаваемого в радиолинию связи.

d) Линейный фильтр Лф2 может быть описан аналогично описанию фильтра Лф1,

(5)

Дифференциальное уравнение в (5) описывает избирательность фильтра Лф2, алгебраическое - процесс наблюдения, сигнал - процесс, подаваемый на вход радиолинии.

Модель радиолинии описывает взаимодействие сигнала с помехами негауссового типа.

e) Источник негауссовых помех (ИНП) - - в модели описан уравнением

(6)

где гауссовский шум с равномерным спектром и ковариационной матрицей

Уравнение (6) аналогично уравнению (1), нелинейное дифференциальное уравнение (6) может описывать широкий класс различных сигналов как детерминированных, так и случайных.

j) Блок взаимодействия (БВ) моделирует воздействие сигнала на полезный сигнал . Это воздействие может быть аддитивным, мультипликативным или комбинированным (частично аддитивным, частично мультипликативным). Сигнал на выходе блока взаимодействия

k) Наблюдение представляет собой аддитивную сумму сигналов и ,

(7)

где - гауссовский шум с равномерным спектром и ковариационной матрицей

Введем далее обозначения:

где гауссовский шум с равномерным спектром и ковариационной матрицей

Тогда уравнения (1)-(6) могут быть записаны в виде

(8)

(9)

Таким образом, сигнал на входе получателя сообщения описан двумя уравнениями: дифференциальным уравнением состояния (8) и уравнением наблюдения (9).

Решением уравнения (8) является плотность распределения вероятностей вектора состояния [8-10]. Эта плотность распределения вероятностей описывается уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова:

(10)

Наблюдение позволяет найти апостериорную плотность распределения вероятностей

(11)

Апостериорная плотность распределения вероятностей вектора состояний является основой для нахождения найлучшей в определенном смысле оценки вектора Обычно применяют критерий получения оценки, минимизирующий средний квадрат ошибки. Если оценку обозначить как , то средний квадрат ошибки можно записать в виде:

(12)

l) Оценка вектора , минимизирующая средний квадрат ошибки (12), будет равна

. (13)

Для получения алгоритма оценки в более простом виде, предположим, что апостериорная плотность распределения вероятностей вектора состояний (11) имеет гауссово распределение. В этом случае оценка будет также распределена по гауссовому закону. Следовательно, для описания оптимального алгоритма оценивания вектора состояния достаточно знания значения вектора и значения его дисперсии - . Подставляя в (13) значения апостериорного распределения вектора состояния и ограничиваясь первыми двумя значениями разложения оценки в ряд Тэйлора, можно получить следующие уравнения для значений вектора и его дисперсии:

(14)

(15)

где - матрица Якоби, соответствующая вектору, помещенному внутри квадратных скобок.

Уравнения (14)-(15), описывающие оптимальный алгоритм оценки вектора состояний, имеют следующие особенности:

• уравнение для оценки вектора состояния (14) содержит в качестве автономной части уравнения для структуру, совпадающую с автономной частью модели (8) сигнала на входе оптимального приемника;

• уравнение для оценки вектора состояния зависит от дисперсии оценки, которая в общем случае, в свою очередь, зависит от наблюдения и времени; очевидно, для правильно построенной модели с течением времени значение дисперсии должно уменьшаться;

• степень “влияния” линии связи на размытость оценки зависит от разности , эту разность называют “обновляющим процессом” (сравни “порождающий процесс” в модели сигнала сообщения);

• степень “влияния” линии связи на размытость оценки зависит также от помех радиолинии – чем большие помехи радиолинии, тем это влияние меньше.

В литературе [8-10] приведены частные случаи оценки вектора состояния для различных ситуаций: линейная и нелинейная модель, стационарный и нестационарный случаи оцениваемого процесса.

Литература

1. Беллами Дж. Цифровая телефония: Пер. с англ./ Под ред. А.Н.Берлина, Ю.Н.Чернышова. – М.: Эко-Трендз, 2004. – 640с.: илл.

2. Невдяев Л.М., Смирнов А.А. Персональная спутниковая связь. – М.: Эко-трендз, 1998. – 215 стр.

3. Таненбаум Э. Компьютерные сети. – М.: Питер, 2005. – 992 стр.

4. Лившиц Б. С., Пшеничников А. П., Харкевич А. Д., Теория телетрафика: Учебник для вузов.— 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Связь, 1979.—224 с., ил

5. Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации: учеб. пособие. М.: Радио и связь, 1985.

6. Гольдштейн Б.С. Системы коммутации. Учебник для вузов. – С-Пб.: БХВ, 2004 г., илл.

7. Баркун М.А., Ходасевич О.Р. Цифровые системы синхронной коммутации. – М.: Эко-Трендз, 2001 г.

8. Д.Снайдер. Метод уравнений состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи. – М.: Энергия, 1973.

9. Г.Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции. – М.: Советское радио, 1977.

10. Первачев С.В., Валуев А.А., Чиликин В.М. Статистическая динамика радиотехнических следящих систем. – М.: Советское радио, 1973.