3.4.5 Модели процессов нестабильностей.

Математические модели процессов нестабильности разрабаты­ваются для повышения стабильности опорных генераторов путем прогнозирования отклонений частоты от номинала и формирования управляющих

воздействий, компенсирующих эти отклонения. Можно выделить два направления создания математической модели [4]. Первое основано на рассмотрении элементов схемы опорного генератора, обеспечивающих получение гармонического колебания. Такая мо­дель должна учитывать вклад отдельных элементов схемы в неста­бильность, описывать шумовые параметры и параметры старения, изменения их под действием окружающих условий. В этом случае модель весьма громоздка, так как число факторов и элементов, приводящих к нестабильности, обычно велико. Второе направление основано на исследовании процесса нестабильности частоты, по­лученного экспериментальным путем. В этом случае рассматривают генератор как "черный ящик”, без детального анализа его вну­тренней структуры. Рассматриваемые далее математические модели нестабильностей основаны на втором подходе.

Выходной сигнал опорного генератора можно записать в виде:

где (t)- случайный процесс, описывающий флуктуации амплиту­ды. В реальных генераторах флуктуациями амплитуды можно пре­небречь. Основной вклад в нестабильность вносят фазовые и час­тотные составляющие. Поэтому формулу для выходного сигнала опорного генератора можно упростить:

Предположим, что нестабильности ("долговременная" и "кратко­временная") характеризуются функцией (t). Обозначим "долговре­менную" нестабильность через _д(t), "кратковременную" – через _к(t). Тогда:

(t)= _д(t)+ _к(t).

Наиболее важно прогнозирование "долговременных" составля­ющих. Они вносят основной вклад в нестабильность частоты.

Статическая модель. Статическая модель процесса нестабильности представляется в виде:

где с_i (i=0, 1..., N ) - постоянные коэффициенты модели. Обыч­но N  2, а коэффициенты с_i имеют определенный физический смысл:

с₀ - ошибка начального значения фазы; с₁ - расхождение частот; с₂ - скорость расхождения частот.

Полиномиальную составляющую правой части называют трендом процесса. В качестве тренда могут выделяться также функции более сложного вида. Например, при рассмотрении участ­ка, соответствующего выходу генератора на номинальный режим ра­боты, тренд переходного процесса, принимают в виде:

"Кратковременную" нестабильность _к(t) аппроксимируют одной из стандартных моделей стационарных процессов, в простей­шем случае - моделью белого шума с нулевым средним [9]. Подобные стохастические модели удобны при работе с кварцевыми генераторами, имеющими высокую стабильность при относительно небольших интервалах прогнозирования ( 1 ч), когда справедли­ва параболическая аппроксимация процесса нестабильности. Появление у процесса нестабильности составляющих типа гармонических, возникающих при действии, например, периодиче­ских возмущающих воздействий, не позволяет решать задачу про­гнозирования с помощью параболической аппроксимации.

Динамическая модель. Динамическая модель базируется на том предположении, что про­цесс нестабильности формируется на выходе четырехполюсника, воз­бужденного белым гауссовым шумом. Параметры возбуждающего шума и формирующего четырехполюсника выбираются такими, чтобы харак­теристики процесса на выходе с требуемой точностью совпадали с характеристиками экспериментально полученных процессов нестабильностей. Сравнение характеристик процессов можно выполнить следующим образом. На основе экспериментально полученного про­цесса нестабильности генератора вычисляют его корреляционную функцию R(). По ней на основании соотношения Винера - Хинчина получают энергетический спектр процесса нестабильности, совпадающий с точностью до постоянных коэффициентов с квадратом модуля коэф­фициента передачи формирующего четырехполюсника. Динамическая модель представляет собой в данном случае описание прохождения белого гауссовa шума через формирующий четырехполюсник посред­ством системы дифференциальных уравнений первого порядка. Си­стемой таких уравнений можно описать всякий процесс с рацио­нальным спектром, приближающимся к нулю на высоких частотах.

Обозначим коэффициент передачи формирующего четырехполюс­ника через К_ф(р); белый гауссов шум, возбуждающий четырехпо­люсник, - через (t), а процесс на выходе – через x(t). Коэф­фициент передачи зададим дробно-рациональной функцией:

где ₁,..., _m , ₁,.., _m - постоянные. При этом процесс с рациональным спектром можно представить матричным дифференциальным уравнением:

где x^T(t)=[x₁(t), …, x_m(t)]; [0,T] – интервал наблюде­ния;

Нестабильность частоты описывается следующим образом:

(t)=H(t)x(t)+(t),

где (t) моделирует процесс "кратковременной" нестабильности. Порядок системы, значения параметров ₁,..., _m , ₁,.., _m, вид функции Н(t) определяются типом нестабильнос­ти. Если, например, процесс нестабильности представляет собой фиксированное расхождение частот, то в этом случае Н(t)=1 и уравнение вырождается в скалярное уравнение первого по­рядка. Если процесс нестабильности представляет собой квази­гармоническое колебание, адекватной этому колебанию моделью яв­ляется модель второго порядка.

Определить порядок математической модели можно следующими способами. Первый способ решения задачи состоит в вычислении коэффициентов ₁,..., _m , ₁,.., _m формирующего четырехполюс­ника на основе известного энергетического спектра процесса не­стабильности. Требования к точности аппроксимации определяют порядок модели. Этот способ, несмотря на кажущуюся простоту, сложен. Измерения нестабильностей опорных генераторов предъявляют высокие требования к измерительной аппаратуре. К тому же необходимая точность ап­проксимации энергетического спектра зависит от многих факторов. Другое решение задачи основано на переборе порядков математи­ческой модели, выполнении исследований посредством различных моделей и анализе выполненных исследований. Результат анализа, как правило, позволяет сделать заключение о целесообразном ви­де математической модели [4].

На рис.35 нестабильность представлена тремя компонентами. Соответствующая модель – на рис.36.

Рис.35 Нестабильность частоты

Рис. 36 Формирователь модели нестабильности

Первая компонента – медленно меняющаяся (или тренд), которая в общих чертах определяет нестационарность про­цесса, но которую можно трактовать как детерминированную составляющую на дан­ной выборке. Как прави­ло, тренд ищется в виде полинома:

G(t)=c₀+ c₁t+ c₂t²+ .

Второй компонентой x(t) можно считать мед­ленные флуктуации (t) относительно компоненты g(t). Эту составляющую можно считать случайным, локально-стационарным процессом с временем корреляции больше пери­ода прогнозирования.

В этом случае, если до­пустить, что g(t)=g₀=const, x(t) также является объектом про­гнозирования. Третья компонента (t) – быстрые флукту­ации частоты, стационарные по всей выборке, но с длительностью интервала корреляции, значительно меньшей, чем время прогноза Т . В данном случае эта компонента считается "помеховой" и мо­жет быть отнесена к инструментальной точности измерения первых двух компонент. Таким образом, нестабиль­ность представима в виде:

(t)=g(t)+x(t)+(t) ,

причем прогнозируются только первые две компоненты.