3.3.3 Системы с ожиданием

Это вторая категория обслуживания телетрафика, в которой задерживают необслуженные вызовы, пока не станет доступным необходимое оборудование. Эти системы называют по-разному: системы с задержкой, системы с ожиданиями вызова, системы с очередями. Вызов, поступающий, когда все приборы заняты, помещается в очередь и удерживается, пока не начнется обслуживание.

В целом работа с ожиданием позволяет более интенсивно использовать приборы (оборудование передачи), чем это делают системы с потерями. Увеличение коэффициента использования достигается “сглаживанием” очередью пикового потока поступающих вызовов.

Далее предполагается, что вся нагрузка, поступающая в систему, обязательно будет обслужена. Данное допущение имеет две стороны. Когда < , можно представить два случая, когда обслуженная нагрузка меньше поступающей. Первый – некоторые источники могут “устать” от ожидания в длинной очереди и покинуть систему. Второй – способность накопления вызовов конечна и требования на обслуживание системой отключаются.

Предполагается также, что существует бесконечное число источников. В физическом смысле число источников конечно, но бесконечно число заявок на обработку: каждый источник может иметь произвольное число невыполненных запросов (например, в узлах с коммутацией пакетов).

Рассматривают обычно два распределения времени обслуживания: постоянное и экспоненциальное. Эти распределения представляют диапазон от детерминированных до наиболее случайных времен обслуживания. Все остальные распределения расположены между ними.

Цель анализа системы – определить вероятность распределение времени ожидания.

В целом работа с ожиданием позволяет более интенсивно использовать приборы (оборудование передачи), чем это делают системы с потерями. В основном увеличение коэффициента использования достигается, поскольку пиковый поток поступающих вызовов “сглаживается” очередью. Даже если моменты поступления вызовов в систему случайны, приборы рассматривают их как регулярный поток. Это свойство процесса обслуживания избыточной нагрузки с очередью иллюстрирует рис.29.

Рис. 29 Диаграмма активности блокированных вызовов в системе с ожиданием

На рисунке представлен тот же профиль нагрузки, что и на рис.1 и 3. Однако в этом случае избыточная нагрузка задерживается до тех пор, пока разъединение вызова не освободит доступные каналы.

Экспоненциальное распределение времени обслуживания. Предполагается, что вероятность поступления вызовов не зависит от числа уже поступивших и находящихся в очереди (бесконечное число источников). Из этого предположения Эрлангом была выведена формула для вероятности перегрузки и, следовательно, времени ожидания:

(10)

где - число приборов; - поступающая нагрузка, Эрл; - вероятность блокировки для потерь в системе с явными потерями [выражение (8)].

Распределение времени ожидания для случайного поступления вызовов, случайного времени обслуживания имеет вид

(11)

где - вероятность ожидания, полученная в формуле (10); - среднее время обслуживания при отрицательном экспоненциальном распределении времени обслуживания.

Выражение (11) определяет вероятность того, что поступающие в случайно выбранный момент времени вызовы ожидают более чем длительности обслуживания. На рис.9 представлено соотношение (11), показывающее пропускную способность при различном числе приборов как функцию допустимого времени ожидания.

Интегрируя выражение (11) по времени, определим среднее время ожидания для всех поступающих вызовов

(12)

Среднее время ожидания только для вызовов, которые уже ожидают обслуживания, определяется как

(13)

Постоянное время обслуживания. Среднее время ожидания при единственном приборе определяется как

(14)

где - коэффициент использования прибора. Выражение (14) дает среднее время ожидания, точно равное половине времени для прибора с экспоненциальным временем обслуживания.

Вероятность перегрузки при больших относительно близка вероятности перегрузки системы с экспоненциальным временем обслуживания. Поэтому выражение (11) может быть использовано как первое приближение для p(>0) в системе с несколькими приборами и произвольным временем распределения.

Для системы с одним прибором и постоянным временем обслуживания вероятность ожидания больше t

(15)

где - найбольшее целое число, не превышающее ; - дробная часть ; - коэффициент использования прибора, .

Рис. 30 Пропускная способность системы с несколькими приборами, ожиданием и экспоненциальным временем обслуживания: а – вероятность ожидания свыше времени t,p(>t)=10%; б – вероятность ожидания свыше времени t, p(>t)=1%

Рис. 31 Вероятность ожидания системы с одним прибором (экспоненциальное и постоянное распределения времени обслуживания)

Сравнение распределения времен ожидания для системы с одним прибором, экспоненциальным временем ожидания и постоянным временем ожидания показано на рис. 31. Для каждой пары кривых верхнее распределение – для экспоненциального распределения времени обслуживания и нижнее – для постоянного времени обслуживания.

Поскольку все другие распределения времени обслуживания дают вероятность ожидания между этими двумя пределами, рис.10 прямо показывает возможные границы времени ожидания.