26 Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция   определена и монотонна на отрезке  , то в каждой точке   эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках   и   правосторонний и левостороннийпределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция   монотонно возрастает на  . Выберем произвольную внутреннюю точку  . Тогда     ограничена сверху на  . Согласно определению: а)  б)   обозначим  . Если  , то  . Итог:      Итак  ,  . Аналогично доказываем, что функция имеет в точке   предел справа причем  ,  . Следствие. Если функция   определена и монотонна на интервале  ,   предел справа и слева, причем если   возрастает, то   , если убывает, то   .

27 Вторая теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций

Теорема. Если функция ff непрерывна на отрезке [a,b][a,b], A=f(a)≠f(b)=BA=f(a)≠f(b)=Bи число CC заключено между числами AA и BB, то существует такая точка c∈[a,b]c∈[a,b], что f(c)=Cf(c)=C. Доказательство. Не нарушая общности будем считать, что A=f(a)<f(b)=BA=f(a)<f(b)=B. Рассмотри функцию h(x)=f(x)−Ch(x)=f(x)−C, непрерывность на отрезке [a,b][a,b] которой следует из непрерывности функции ff. Очевидно что h(a)=A−C<0h(a)=A−C<0 и h(b)=B−C>0h(b)=B−C>0. Применяем к hh первую теорему Коши и находим точку cc в которой h(c)=f(c)−C=0h(c)=f(c)−C=0, то-есть f(c)=Cf(c)=C. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы. Как мы видим на рисунке изображен график функции f(x)f(x)(в общем произвольной), непрерывной на отрезке [a,b][a,b], где f(b)<f(a)f(b)<f(a), CC произвольная точка на отрезке [f(b),f(a)][f(b),f(a)] и прямая ll задана формулой l(x)=Cl(x)=C. Как мы видим, прямая ll обязана пересечь кривую f(x)f(x) в какой-то точке MM, лежащей на кривой f(x)f(x), между точками A(a,f(a))A(a,f(a)) и B(b,f(b))B(b,f(b)). То-есть существует такое c∈[a,b]c∈[a,b], что f(c)=Cf(c)=C.

Замечание 1. Первую и вторую теоремы Коши объединяют в одну, теорему Коши о промежуточном значении функции. В таком случае, теорема о нулях функции считается частным случаем. В то же время, как видно из доказательства вторая теорема Больцано-Коши является прямым следствием первой. Также теорему Коши о промежуточном значении функции называют теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Замечание 2. Теорема Коши о промежуточном значении, применяется в доказательствах. Примеров на эту тему как таковых нету, но мы очень часто пользуемся этой теоремой, даже не замечая этого.

28. Понятие обратной функции

Определение. Функция   называется обратимой, если для любых двух различных чисел   и  , принадлежащих  , числа   и   также различны.

Обратная функция.  Пусть на множестве D определена функция у = f(x) и E – множество ее значений. Определим новую функцию, х = h(y), которая определена на множестве Е и каждому значению у ставит в соответствие то самое значение х из множества D, для которого у = f(x). Эта новая функция х = h(y) называется функцией, обратной к функции у = f(x). Таким образом, для нахождения функции, обратной к функции у = f(x), надо решить уравнение у = f(x) относительно х.

29. Подпоследовательности числовых последовательностей

Определение. Последовательность  ,   называется подпоследовательностью последовательности  ,  , если для любого числа k существует такое число  ,  , что  , причем   тогда и только тогда, когда  . Последовательность   обозначается также  . Например, последовательность  ,   является подпоследовательностью последовательности    В частности, сама последовательность может рассматриваться как своя подпоследовательность. В этом случае nk=n. Отметим два простых свойства, вытекающих непосредственно из определения последовательности. 1. Для того чтобы последовательность сходилась к числу a, необходимо и достаточно, чтобы все подпоследовательности этой последовательности сходились к числу a. 2. Для того чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы все ее подпоследовательности были бесконечно большими.