21. Число е

23. Свойства непрерывных функций

Теорема 1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.  Доказательство. Пусть функции     и     непрерывны в точке  a. Тогда

Согласно свойству пределов функций существование пределов функций     и     гарантирует существование предела их суммы. При этом

что и требовалось доказать.  Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.  Доказательство. Каждую пару непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. Затем каждую пару полученных непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. В конечном итоге останется одна непрерывная функция.

Теорема 2. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.  Свойство. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.  Теорема 3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.  Доказательство теорем 2 и 3 по своей сути не отличается от доказательства теоремы 1 и предоставляется читателю.

Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.  Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа  a  из области определения элементарной функции     выполняется условие

Продемонстрируем справедливость теоремы на некоторых конкретных примерах.

1. Пусть   , где  n  – целое положительное число. Тогда

Первый член в правой части этого равенства представляет собой бесконечно малую функцию при  x → a  и, следовательно,

2. Покажем, что показательная функция    является непрерывной в каждой точке  a. Действительно,

Теорема 5. Пусть функция     непрерывна на промежутке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда на этом промежутке существует такая точка  c, в которой   .  Действительно, непрерывность функции на некотором промежутке означает отсутствие скачков функции на этом промежутке. Другими словами,     принимает все значения, заключенные между ее минимальным и максимальным значениями на промежутке [a,b], одним из которых является нулевое значение.  Отметим, что теорема 5 лежит в основе численных методов решения уравнений.

 f(x) = y₀,

(6.40)

g(y) = z₀,

(6.41)

g[ f(x)] = g(y).

(6.42)

g(y) = g( y₀),

(6.43)

g[ f(x)] = g( f(x)).

(6.44)

g[ f(x)]

=

g(y)

=

g( y₀)

=

g( f(x)).

(6.42)

(6.43)

(6.40)

 f(x) = f(x₀) = y₀,

(6.45)

g[ f(x)]

=

g[ f(x)]

=

g f(x₀)

(6.44)

(6.45)

Непрерывность функций

Определение непрерывности по Гейне

Говорят, что функция действительного переменного f(x) является непрерывной в точке a∈R (R−множество действительных чисел), если для любой последовательности {xn}, такой, чтоlimn→∞xn=a,выполняется соотношениеlimn→∞f(xn)=f(a).На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f(x) в точке x=a (которые должны выполняться одновременно):

1. Функция f(x) определена в точке x=a;

2. Предел limx→af(x) существует;

3. Выполняется равенство limx→af(x)=f(a).

Определение непрерывности по Коши (нотация ε−δ)

Рассмотрим функцию f(x), которая отображает множество действительных чисел R на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f(x) является непрерывной в точке a∈R, если для любого числа ε>0 существует число δ>0, такое, что для всех x∈R, удовлетворяющих соотношению|x−a|<δ,выполняется неравенство|f(x)−f(a)|<ε.

Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x=a, если справедливо равенствоlimΔx→0Δy=limΔx→0[f(a+Δx)−f(a)]=0,где Δx=x−a.  Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.  Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. 

Теоремы непрерывности

Теорема 1.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x=a и C является константой. Тогда функция Cf(x) также непрерывна при x=a.  Теорема 2.  Даны две функции f(x) и g(x), непрерывные в точке x=a. Тогда сумма этих функций f(x)+g(x) также непрерывна в точке x=a.  Теорема 3.  Предположим, что две функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x=a. Тогда произведение этих функцийf(x)g(x) также непрерывно в точке x=a.  Теорема 4.  Даны две функции f(x) и g(x), непрерывные при x=a. Тогда отношение этих функций f(x)g(x) также непрерывно при x=a при условии, что g(a)≠0.  Теорема 5.  Предположим, что функция f(x) является дифференцируемой в точке x=a. Тогда функция f(x)непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции  в точке; обратное − неверно).  Теорема 6 (Теорема о предельном значении).  Если функция f(x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a,b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, чтоm≤f(x)≤Mдля всех x в интервале [a,b] (рисунок 1). 

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).  Пусть функция f(x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a,b]. Тогда, если c − некоторое число, большее f(a) и меньшее f(b), то существует число x0, такое, чтоf(x0)=c.Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2. 

Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.  Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций  (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций.