18 . Аксиомы действительных чисел
Множеством 
называется
множество, на котором выполняются
следующие условия:
Во
множестве
определена
операция “сложение”: 
a. 
(сложение
коммутативно);
b. 
(сложение
ассоциативно);
с. 
(наличие
нейтрального элемента);
d. 
(наличие
противоположного
элемента).
Число 
называется разностью чисел 
и 
и
обозначаются 
.
В
определена
операция “умножение”: 
а. 
(коммутативность
умножения);
b. 
(ассоциативность
умножения);
с. 
(наличие
нейтрального элемента);
d. 
(наличие
противоположного элемента).
– частное
деление
на
и
обозначается 
или 
.
Выполняется дистрибутивный
закон (связь
сложения и умножения):
.
либо 
,
либо 
.
При
этом, если
и
,
.
Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.
Если 
,
то пишут 
;
Если 
,
то пишут 
;
Если 
,
то пишут 
.
Для
множеств:
Для 
Запись 
означает,
что 
.
Если
(множество
из одного элемента) и
,
то 
.
Непрерывность множества
заключается
в том, что в
нет
“щелей”, а именно справедлива:
Аксиома непрерывности
.
Неравенство
Бернулли
Пусть 
.
Тогда
Доказательство:
Если
n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно
выполняется при 
.
Докажем его справедливость при 
.
Действительно:
;
.
Что
и требовалось доказать. 
Аксиома полноты или непрерывности множества веще- ственных чисел состоит в следующем. Если X и Y — непустые подмножества R, обладающие тем свой- ством, что для любых элементов x ∈ X и y ∈ Y выполнено x ≤ y, то существует такое c ∈ R, что x ≤ c ≤ y для любых элементов x ∈ X и y ∈ Y . Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве R позволяет считать это множество кон- кретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел
Аксиома непрерывности
Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа [3].
Геометрическая иллюстрация аксиомы непрерывности
Каковы
бы ни были непустые множества {\displaystyle
A\subset \mathbb {R} } и {\displaystyle
B\subset \mathbb {R} },
такие что для любых двух элементов {\displaystyle
a\in A} и {\displaystyle
b\in B} выполняется
неравенство {\displaystyle
a\leqslant b},
существует такое действительное
число {\displaystyle
\xi },
что для всех {\displaystyle
a\in A} и {\displaystyle
b\in B} имеет
место соотношени{\displaystyle
a\leqslant \xi \leqslant b}
Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой, данное утверждение представляется очевидным. Если два множества {\displaystyle A} и {\displaystyle B} таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число {\displaystyle \xi }, разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов {\displaystyle A} (кроме, возможно, самого {\displaystyle \xi }) и левее всех элементов {\displaystyle B} (та же оговорка).
Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется.
Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа
Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа.[источник не указан 1856 дней] Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:
(Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится
(Теорема Больцано — Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка
(Существование степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого {\displaystyle a>0} и целого {\displaystyle n\geqslant 1} существует {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}, то есть решение уравнения {\displaystyle x^{n}=a,x>0}.
19. Предел монотонной ограниченной последовательности.
Теорема Вейерштрасса
Теорема
Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).
Если последовательность 
является
нестрого возрастающей (нестрого
убывающей) и
ограничена
сверху (снизу), то
является
сходящейся.
Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, достаточно, чтобы она была ограниченной.
Замечание
Если последовательность монотонная, то для того, чтобы она была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
Число е (число Эйлера)
Используя
теорему Вейерштрасса, можно показать,
что последовательность 
является
сходящейся, то есть имеет предел. Данный
предел равен числу
е - числу Эйлера,
которое является основанием натурального
логарифма:
20. Теорема (Бенулли, неравенство): |
light: |
hard: 
20. Теорема Кантора
В теории множеств теорема Кантора гласит, что
-
Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.
21. Второй замечательный предел
Второй замечательный предел:
здесь е - число Эйлера. является основанием натурального логарифма.
Число e, второй замечательный предел
Числом e называется предел
Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются
Данный предел называют вторым замечательным пределом.