2.1.3 Канонические уравнения метода перемещений
Рассмотрим работу основной системы в методе перемещений и сравним с работой заданной системы (рисунок 2.8). В основной системе от действия внешней нагрузки в наложенных связях будут возникать реактивные усилия (реакции) R1P и R2P. Отметим, что суммарная реакция R1P (на рисунке не показана) равна R′1P + R′′1P, поскольку в левом жестком узле расположен верхний конец левой стойки, момент в котором равен R′1P и левый конец ригеля с моментом R′′1P .
В заданной системе этих реакций нет. Реактивные моменты и силы можно обратить в нуль, если повернуть заделку на угол, равный действительному углу поворота z1 и сместить узлы ригеля так, чтобы их смещение равнялось действительному смещению z2.
Отрицание реактивных усилий в веденных связях лежит в основе канонических уравнений метода перемещений. Коротко эти уравнения можно записать так: R1i = 0, R2i = 0, … Rni = 0 – сумма реакций в каждой наложенной связи равна нулю.
Рассмотрим подробно в развернутом виде для нашего примера первое уравнение
R1i = R1Р + R11 + R12 = 0, (а)
где: R1Р – реакции в первой введенной связи от внешней нагрузки, R11 – реакции в первой введенной связи от первого перемещения z1, R12 – реакции в первой введенной связи от от второго перемещения z2 .
Реакции от перемещений можно представить в таком виде:
R11 = Z1∙r11, R12 = Z2∙r12.
где: Z1, Z2 – искомые перемещения узлов, r11, r12 – реакции в наложенных связях от единичных смещений этих связей (рисунок 2.9).
Тогда уравнение (а) примет вид
Z1∙r11 + Z2∙r12 + R1Р = 0,
аналогично для второй связи
Z1∙r21 + Z2∙r22 + R2Р = 0.
В общем виде система канонических уравнений метода перемещений имеет вид:
(2.4)
где – r11, r22, ... rii … rnn - главные коэффициенты,
– r12, r21, r13, r23 … rij - побочные коэффициенты. В соответствии с теоремой о взаимности реакций выполняется условие: rij = rji,
– R1Р, R2Р,… RnР – грузовые реакции (свободные члены системы алгебраических уравнений (2.4)).
Физический смысл канонических уравнений (2.4) заключается в следующем – сумма реакций в каждой наложенной связи от действия внешней нагрузки и от угловых и линейных смещений равна нулю.
2.1.4 Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений необходимо в основной системе построить эпюры моментов от нагрузки и от единичных смещений наложенных связей. Построение эпюр изгибающих моментов производится при помощи таблиц (см. приложение В). В таблицах приводятся эпюры моментов для статически неопределимых балок, полученные методом сил.
Значения коэффициентов и свободных членов уравнений (2.4) получаем из рассмотрения равновесия узлов рамы в единичных и грузовом состояниях (по единичным и грузовой эпюрам). Порядок определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений покажем на примере.