1.6.2 Расчет простейших статически неопределимых систем методом сил на действие температуры

В системах внешне статически неопределимых при одновременном нагревании всех или части элементов возникают дополнительные усилия. Рассмотрим один раз статически неопределимую балку при неравномерном нагреве (рисунок 1.35).

Каноническое уравнение будет иметь вид:

X₁₁₁ + _1t = 0.

В качестве свободного члена выступает перемещение _1t, вызванное действием температуры. Тогда:

Находим значение лишнего неизвестного

Строим результирующую эпюру М = Грузовая эпюра отсутствует, так как в статически определимых системах температурные напряжения и, следовательно, усилия отсутствуют. Т.е. результирующая эпюра М состоит из эпюры М₁. Эта особенность работы статически неопределимых систем при воздействии только температуры сказывается в том, что не соблюдается условие

При этом

Этим же объясняется несоответствие результирующей эпюры М и упругой линии.

Пример 1.5 Определить внутренние усилия в один раз статически неопределимой раме, возникающие в следствии перепада температур (рисунок1.36,а).

1 Записываем каноническое уравнение.

X₁₁₁ + _1t = 0.

2 Выбрав основную систему, строим единичные эпюры моментов и продольных сил N₁ (рисунки 1.36_, б,в).

3 Вычисляем коэффициент и свободный член канонического уравнения:

Тогда

4. Строим результирующие эпюры M, Q, N (рисунок 1.37).

Если принять, что сечение выполнено из двутавра № 36 (I=13380 см⁴), E = 2∙10⁵МПа, ∙^l = 3.6 м, то величина реакции, возникающая от разности температур будет следующей:

1.7 Определение перемещений, вызванных осадкой опор

1.7.1 Определение перемещений, вызванных осадкой опор в статически определимых системах

Осадки опор могут быть случайными (просадка грунта, оползень и другие причины) или возникать от действия нагрузки в силу податливости опор.

Рассмотрим случайные осадки опор. На рисунке 1.38, а показано действительное состояние статически определимой рамы при просадке левой опоры «А». Требуется определить полное перемещение сечения «к».

Воспользуемся теоремой Мора – составим выражение для возможной работы внешних сил единичного состояния на перемещениях действительного состояния, вызванного осадкой опоры. Поскольку в действительном состоянии внутренние усилия отсутствуют, будем рассматривать только работу внешних сил.

Для определения вертикальной составляющей _к^в создаем первое единичное состояние (рисунок 1.38, б). Возможная работа внешних сил составит

Р₁∙_к^в - R_A∙_A = 0, (а)

знак минус во втором слагаемом в выражении (а) означает, что направление реакции и перемещения _A не совпадают. Тогда:

Для определения горизонтальной составляющей _к^гор создаем второе единичное состояние (рисунок 1.38,в) и по аналогии

Р₂∙_к^гор - R_A∙_A = 0,

Пример 1.6

Требуется вычислить вертикальные перемещения сечения С у_С и сечения Е у_Е.

Создаем соответствующие единичные состояния, приложив в точках С и Е вертикальные единичные силы (рисунок 1.39, б,в).

Для определения у_С составим выражение для возможной работы внешних сил первого единичного состояния (рисунок 1.39,б) на перемещениях, вызванных осадкой опоры.

R_A∙ + 1∙ у_С = 0

откуда

у_С = - R_A∙ = - 0.5

То же для второго единичного состояния (рисунок 1 39,в).

1∙ у_Е - R_A∙ = 0

(знак минус означает, что реакция R_A направлена в обратную сторону смещения ). Тогда

у_Е = R_A∙ = 0.5

Пример 1.7 Определить перемещение верхних узлов рамы (рисунок 1.40), связанные с боковой осадкой правой опоры Е. Принять _у = 2_х.

Для определения вертикального перемещения шарнира С создаем единичное состояние (рисунок 1.40,б). Определяем опорные реакции и составляем выражение для возможной работы сил единичного состояния на перемещениях, связанных с осадкой опоры (рисунок 1.40,а).

1∙у_С -R_E∙_у - H_E∙_x = 0,

Тогда:

Для определения остальных перемещений создаем соответствующие единичные состояния (рисунок 1.41) и записываем выражения для возможной работы.

1∙у_В -R_E∙_у - H_E∙_x = 0,

у_В = 0.

1∙у_D -R_E∙_у - H_E∙_x = 0,

y_D = _у = 2_x.

1∙x_B -R_E∙_у - H_E∙_x = 0,

Отметим, что для определения горизонтальных перемещения узлов С и D единичные состояния дадут картину, аналогичную картине, представленной на рисунке 1.41,в

. Тогда

x_С = x_D = x_B.