1.7.2 Расчет простейших статически неопределимых систем методом сил при осадки опор

Если в статически определимых системах осадка опор не вызывает дополнительных внутренних усилий, то в статически неопределимых конструкциях осадка опор приводит к появлению, порой, значительных внутренних усилий. Определение этих усилий возможно с применением метода сил. Порядок решения задачи рассмотрим на примере 1.8.

Пример.1.8 Правая опора дважды статически неопределимой рамы получила вертикальное Δ₁ и горизонтальное Δ₂ смещения (рисунок 1.42). Требуется построить эпюру моментов, вызванных смещением опоры. Используем алгоритма метода сил.

1 Отбрасывая правую опору выбираем основную систему.

2 Записываем канонические уравнения метода сил, в которых в качестве свободных членов выступают значения соответствующих смещений.

X₁₁₁ + X₂₁₂ = - ₁,

X₁₂₁ + X₂₂₂ = ₂.

Знак минус у ₁ говорит о том, что неизвестное Х₁ и перемещение ₁ (вертикальная составляющая осадки опоры) направлены в разные стороны.

3 Строим единичные эпюры (рисунок 1. 43) и вычисляем единичные коэффициенты δ₁₁, δ₁₂, δ₂₂.

4 Подставляем полученные коэффициенты в канонические уравнения и находим неизвестные Х₁ и Х₂.

,

Решаем полученную систему уравнений.

.

5 Строи эпюры моментов от неизвестных и результирующую эпюру (рисунок 1. 44)..

6 Делаем кинематическую проверку. Результат перемножения результирующей и единичной эпюр должен быть равен соответствующему смещению опоры.

Т. е. перемещение Δ₁ происходит в сторону, обратную единичной силе Х₁.

Ниже в качестве примеров приводятся простейшие схемы статически неопределимых систем.

2 Метод перемещений при расчете статически неопределимых систем

Выше был рассмотрен расчет статически неопределимых систем методом сил, в котором за основные неизвестные принимались внешние или внутренние лишние (избыточные) с точки зрения статической определимости усилия. Для определения этих неизвестных использовались уравнения совместности деформаций. Основная система при этом была статически определима.

В методе перемещений за основные неизвестные принимаются перемещения узлов рамы, для нахождения которых используются канонические уравнения, по смыслу представляющие собой уравнения равновесия узлов.

2.1 Алгоритм метода перемещений

2.1.1 Степень кинематической неопределимости

Главной характеристикой статически неопределимой конструкции, рассчитываемой методом перемещений, является степень кинематической неопределимости.

Степенью кинематической неопределимости называется число тех неизвестных перемещений, значения которых определяют деформированный вид стержневой системы и, следовательно, все усилия в ней.

Установим, какие перемещения стержня необходимо и достаточно знать, для того чтобы можно было определить внутренние усилия в любом его сечении. Для этого рассмотрим прямолинейный стержень АВ (рисунок 2.1) , выделенный из n раз статически неопределимой рамы.

При представлении деформированного состояния рамы мы будем пренебрегать:

1) продольными деформациями стержней от продольных усилий N,

2) разницей длины искривленного стержня и проекцией его на первоначальное направление,

3) влиянием поперечных сил на деформацию изгиба стержня.

Под влиянием действующей на систему (в том числе и на сам стержень) нагрузки стержень перейдет в новое деформированное состояние А₁В₁. Переход стержня из положения АВ в положение А₁В₁ можно представить в виде суммы следующих перемещений.

1) Поступательное перемещение из положения АВ в положение А В′ на величину Δ′. При этом в стержне не будет возникать внутренних усилий (рисунок 2.2).

2) Поворот узла А на угол _A. При этом в стержне будут возникать внутренние усилия в виде изгибающих моментов. На рисунке 2.3,а показаны изогнутая ось и эпюра изгибающих моментов, соответствующие такой деформации (слева у стержня растянуты нижние волокна, справа – верхние).

3) Поворот узла В на угол _В. В стержне будут возникать изгибающие моменты, показанные на эпюре (рисунок 2.3,б).

4) Линейное смещение одного из концов стержня с защемленными краями на величину Δ (рисунок 2.3,в).

5) Перемещение точек оси стержня с защемленными краями от действия приложенных к стержню внешних сил (рисунок 2.3,г).

Складывая эпюры моментов от каждого воздействия, получим результирующую эпюру для рассматриваемого стержня. Другими словами, если мы знаем для нагруженного стержня значения перемещений его торцов _A,_A,, то сможем определить внутренние усилия в любом сечении этого стержня.

Таким образом степень кинематической неопределимости n зависит от числа неизвестных улов поворота жестких узлов n_у и возможных линейных перемещений узлов n_л и равна сумме

n ₌ n_{у +} n_л (2.1)

2.1.2 Основная система метода перемещений.

При расчете статически неопределимых систем методом перемещений стержневая система расчленяется на ряд однопролетных балок (стоек), которые чаще всего статически неопределимы. Это достигается введением в нее дополнительных связей, запрещающих линейные смещения и повороты узлов (На рис. 2.4 показано, что в жестком узле вводится заделка, а возможному линейному смещению препятствует введенная опора). В результате получается основная система метода перемещений.

Поскольку деформированное и силовое состояния эквивалентной системы не должно отличаться от напряженно-деформированного состояния заданной системы необходимо в эквивалентной системе ввести дополнительные перемещения z₁ и z₂, которые имеют место в заданной системе (рис. 2.4,а). Напомним, что под эквивалентной системой понимается основная система, нагруженная дополнительно заданной внешней нагрузкой и неизвестными..

Вводимые в основной системе в жесткие узлы заделки называют плавающими, поскольку они отличаются от действительных жестких защемлений тем, что оказывают препятствие только повороту узла, но не препятствуют собственным линейным смещениям этого узла.

Если основная система метода сил получается путем отбрасывания лишних связей, то основная система метода перемещений получается путем добавления связей. При этом повышается степень статической неопределимости заданной системы.

Повторимся, что степень кинематической неопределимости определяется как сумма числа жестких узлов и числа возможных линейных смещений узлов.

На рисунках 2.5, 2.6 и 2.7 показаны примеры выбора основной системы метода перемещений. Напомним, что W – степень статической неопределимости (число лишних связей)

.