1.4 Упрощения при расчете сложных рам

1.4.1 Использование симметрии

Симметричной называют такую раму, которая обладает симметрией в очертании оси, в расположении опорных устройств, в жесткости элементов.

Используя симметрию при выборе основной системы можно добиться значительного упрощения системы канонических уравнений за счет разделения ее на две независимые группы. Одна включает только симметричные неизвестные, другая - обратносимметричные неизвестные.

Так для рамы, показанной на рисунке 1.14 при выборе основной системы с учетом симметрии (рисунок 1.15,а) неизвестное Х₁ – обратносимметричное, а Х₂ – симметричное неизвестное. Построив соответствующие эпюры и вычислив коэффициенты канонических уравнений можно убедиться, что сложная система

распалась на два простых уравнения, поскольку ₁₂ = ₂₁ = 0.

Х₁ ₁₁ = _1p Х₂ ₂₂ = _2p

1.4.2 Группировка неизвестных при расчете симметричных рам

В этом случае в качестве неизвестных следует принимать групповые неизвестные в виде системы сил, приложенных в различных, симметрично расположенных токах. В рассмотренном выше примере имели место групповые неизвестные, но они были вызваны тем, что представляли «освобожденные» внутренние усилия, выступавшие в качестве неизвестных, и должны быть приложены к обеим сторонам сечения.

Рассмотрим в качестве примера дважды статически неопределимую систему, показанную на рисунке 1.20.

Произвольный выбор основной системы (рисунок 1.21,а) приводит к обычной системе канонических уравнений.

Если воспользоваться группировкой неизвестных (рисунок 1.22,а), то побочные коэффициенты ₁₂ = ₂₁ = 0 и система уравнений разделится на два простых уравнения.

Х₁ ₁₁ = _1p,

Х₂ ₂₂ = _2p.

Пример расчета симметричной рамы

Пример 1.3 Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры внутренних усилий для рамы, показанной на рисунке 1.19 ,а.

Решение.

1 Определяем степень статической неопределимости заданной стержневой системы. Она равна 3.

2 Выбираем основную систему с учетом симметрии рамы и воспользуемся групповыми неизвестными (рисунок 1.19, б).

3 Записываем систему канонических уравнений.

4 Для вычисления коэффициентов и свободных членной канонических уравнений строим грузовую (рисунок 1.23,в) и единичные (рисунок 1.24) эпюры.

5 Проводим вычисление указанных коэффициентов.

(результат перемножения симметричной и кососимметричной эпюр).

_2p = _3p = 0.

Система канонических уравнений принимает вид:

6 Решаем полученную систему алгебраических уравнений. Тогда:

Система двух последних однородных уравнений с неизвестными Х₂ и Х₃ будет иметь ненулевое решение, если определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю.

Вычислим определитель

_{22 ∙}₃₃ – 2∙_{23 =} Следовательно Х₂ = Х₃ = 0.

7 Строим эпюру М₁ и результирующую эпюру М (рис. 1.25).

8 Выполняем кинематическую проверку – перемножение эпюр М и .

9 Дифференцируя эпюру М, получаем значения поперечных сил и строим эпюру Q (рисунок 1.26, а).

10 Рассматривая равновесие узлов эпюры Q, (рисунок 1.27), находим продольные усилия и строим эпюру N (рисунок 1.26, б).

11 Выполняем статическую проверку рамы (рисунок 1.28).

х = 0.

 Р/4 + Р – Р/4 – Р/2 = 0.

y = 0.

 Р/4 + Р/4 = 0.

m_В = 0.

Р/4∙l – Р∙l + Р/4∙l + Р/4∙l + Р/4∙l = 0.

Проверка выполняется.