1.2 Алгоритм метода сил

Рассмотрим алгоритм метода сил на примере расчета дважды статически неопределимой рамы (рисунок 1.3,а). При расчете статически неопределимых систем будем использовать соответствующую терминологию (заданная система, основная система, эквивалентная система, единичное состояние и т. п.).

Рисунок 1.3

Рисунок 1.4

Поступим следующим образом. В заданной системе, показанной на рисунке 1.3,а), отбросим две лишние связи – по числу лишних неизвестных. Пусть это будут связи шарнирно неподвижной опоры В.

Полученная статически определимая система называется основной системой (рисунок 1.3,б). Теперь, если приложить к основной системе заданную нагрузку q и реакции, которые возникали в отброшенных связях R_B = X₁ и H_B = X₂, то получим эквивалентную систему (рис, 1.3,в), которая должна иметь напряженно деформированное состояние (НДС), такое же, как и исходная заданная система. Наша задача – составить два недостающих уравнения для определения НДС заданной дважды неопределимой системы.

Рассмотрим деформации основной системы от воздействия отдельно неизвестных и заданной нагрузки.

При действии на основную систему первого неизвестного Х₁ рама получает соответствующие деформации, а точка В окажется в положении В₁ (рисунок 1.4,а), получив вертикальное Δ₁₁ и горизонтальное Δ₂₁ перемещения. Индексы у перемещений Δ₁₁ означают, что это перемещение по направлению Х₁, вызванное усилием Х₁, соответственно Δ₂₁ – перемещение по направлению х₂ (горизонтальное), вызванное усилием Х₁. Т. е. первый индекс показывает направление, второй – воздействие.

Аналогично, при воздействии на основную систему усилия Х₂ (рисунок 1.4,б) точка В окажется в положении В₂, получив перемещения Δ₁₂ и Δ₂₂.

При нагружении основной системы заданной нагрузкой (рисунок 1.4,в) точка В переместится в положение В₃ и получит перемещения Δ_1Р и Δ_2Р.

В эквивалентной системе точка В должна оставаться на месте, т. е. не перемещаться. Отсюда следует вывод, что сумма горизонтальных и вертикальных перемещений от каждого воздействия рана нулю, т. е.

(а)

Если взамен неизвестных приложить единичные силы и , которые вызовут соответствующие единичные перемещения, то перемещения Δ_ij, входящие в уравнения (а) можно представить как

Δ₁₁ = Х₁∙δ₁₁, Δ_12, = Х₂∙δ₁₂, Δ₂₁ = Х₁∙δ₂₁, Δ₂₂ = Х₂∙δ₂₂, (б)

где δ_ij – «единичные» перемещения – перемещения, вызванные единичными силами и .

Подставляя (б) в (а) получим:

(1.1)

Уравнения (1) называются каноническими уравнениями метода сил. Их физический смысл – равенство нулю перемещений по направлению отброшенных связей. Число уравнений равно числу неизвестных – числу лишних связей.

Так для рамы, показанной на рисунке 1.5 число неизвестных равно 6 и при раскрытии статической неопределимости необходимо составить и решить систему из 6 канонических уравнений с 6 неизвестными.

Каждый замкнутый контур рамы обладает 3 лишними связями. Убрать лишние связи можно, либо разрезав контур (в этом случае лишними будут внутренние усилия N, Q и М), либо путем врезания трех шарниров. Каждый одинарный шарнир убирает одну связь.

При выборе основной системы необходимо следить, что бы выбранная основная система была неизменяемой системой.

Вычисление коэффициентов и свободных членов уравнений (1) проводится с использованием метода Мора [4], [7], для чего необходимо построить единичные и грузовую эпюры моментов. В соответствии с теоремой Бетти о равенстве возможных перемещений число искомых коэффициентов уменьшается, поскольку δ_ij = δ_ji.

После решения системы уравнений (1.1) и нахождения неизвестных результирующая эпюра моментов может быть получена по принципу независимости действия сил, как сумма воздействий неизвестных и нагрузки.