3.2.3 Расчет статически неопределимых ферм по предельному

состоянию

Рассмотренный выше метод расчета может быть применен к расчету сложных статически неопределимых ферм. Предельной нагрузкой для n раз статически неопределимой фермы будет такая нагрузка, при которой «потекут» n + 1 стержней. При этом система станет геометрически изменяемой.

Сложность этой задачи – определение предельной нагрузки – заключается в том, что трудно установить какие стержни будут терять несущую способность в первую очередь.

3.3. Расчет статически определимых балок по предельному

состоянию

3.3.1 Развитие пластических деформаций в изгибаемых балках

Как отмечалось выше, при изгибе появление в крайних волокнах какого-либо сечения предельных напряжений соответствует наступлению предельного состояния по допускаемым напряжениям. Но это не означает полного исчерпания несущей способности, т. е. напряжения в остальных волокнах этого сечения ниже предельных и могут воспринимать дополнительную нагрузку. Покажем эпюры напряжений в поперечном сечении бруса при возрастании нагрузки (рисунок 3.3). В том случае, когда упругость в сечении сохраняется лишь в волокнах на высоте h₀, имеет место т.н. упругое ядро размером 2∙h₀.

Несущая способность балки будет использована, когда во всех волокнах напряжения достигнут значения _т (рисунок 3.3, г). Такое состояние называется пластическим шарниром.

Предельный изгибающий момент, соответствующий этому состоянию можно определить как (рисунок 3.4):

(3.5)

(S_i – статический момент площади)

Выражение в (5)

W_пр = S₁ + S₂ (3.6)

носит название пластический момент сопротивления.

Для симметричного относительно оси х сечения

W_пл = 2S₀.

Таким образом, изгибающий момент, соответствующий появлению пластического шарнира, будет равен

М_пл = _тW_пл. (3..7)

Для прямоугольного сечения

α = т. е. расчет по предельному состоянию позволяет увеличить расчетный момент на 50%.

Для двутавровых балок разность между предельным (пластическим) моментом сопротивления и обычным меньше. Отношение α = W_пл/W для них составляет 1,15 ÷ 1,17.

В случае несимметричного сечения относительно оси х положение нейтральной линии можно найти из условия σ х = 0.

σ_т∙А₁ - σ_т∙А₂ = 0.

откуда А₁ = А₂, т.е. нейтральная линия делит сечение пополам.

Для таврового сечения (рис.3.5) будет:

3.3.2 Предельное равновесие изгибаемых балок

Пример 3.1. Рассмотрим однопролетную балку с различными условиями опирания на концах. На рисунке 3.6 показана простая шарнирно опертая балка. По эпюре моментов можно сделать вывод, что пластический шарнир образуется в середине пролета, поскольку там возникает максимальный момент Pl/4.

Тогда из условия равенства моментов имеем:

(Pl/4) = M_пр = σ_тW_пр,

откуда предельная нагрузка составит:

.

Для балки с жесткой и шарнирной опорой эпюра моментов при работе в упругой стадии показана на рисунке 3.7,а. Момент в заделке больше момента в середине пролета.

При постепенном нарастании силы Р первый пластический шарнир возникнет в заделке (рисунок 3.7,б). Но балка при этом не превратится в механизм. И только дальнейшее увеличение силы Р образует второй пластический шарнир в середине пролета. В этом случае балка превращается в механизм, т. е. наступает предельное состояние.

Из рисунка 3.7,в видно, что (Pl/4) = 1,5 M_пр. Следовательно

В балке с двумя заделками предельное состояние возникает при появлении трех пластических шарниров (рисунке 3.8,а). В соответствии с эпюрой, соответствующей предельному состоянию (рис. 3.8,б) получим (Pl/4) = 2 M_пр.

Предельная нагрузка в этом случае составит

Аналогичным образом определяется предельное состояние многопролетных неразрезных (статически неопределимых) балок.

На рис. 3.9,а показана эпюра моментов при упругой работе материала, когда наибольший момент на средней опоре достигает значения М_пр. Дальнейшее нагружение приведет к появлению на этой опоре пластического шарнира.

Дальнейший рост нагрузки возможен до появления пластических шарниров в сечениях под силой Р (рис. 3.9,б). Из этого рисунка следует: