4.7. Подбор эмпирических формул

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраи­ческие выражения, которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подставляют только в пределах измеренных значений аргу­мента x₁ - х_п. Эмпирические формулы имеют тем большую ценность, чем больше они соответствуют результатам эксперимента. К эмпириче­ским формулам предъявляют два основных требования - по возможно­сти они должны быть более простыми и точно соответствовать экспери­ментальным данным в пределах измерения аргумента.

Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми, называют аппроксимацией, а функции аппроксимирующими.

4.8. Регрессионный анализ

В реальных условиях часто встречаются ситуации, когда одному значению аргумента соответствует несколько измеряемых значений.

Под регрессионным анализом понимают исследование закономер­ностей между явлениями (или процессами), которые зависят от многих (иногда неизвестных) факторов. Если две переменные зависят друг от друга так, что каждому значению х соответствует определенное значе­ние у, то между ними существует функциональная или детерминирован­ная связь.

Однако часто между переменными х и у существует связь, но не вполне определенная. Одному значению х соответствует несколько зна­чений (совокупность) у. В этом случае, когда каждому значению аргу­мента х соответствует статистический ряд распределения отклика у, связь называют регрессионной (корреляционной). Следовательно, рег­рессионные зависимости характеризуются вероятностными или сто­хастическими связями. Поэтому установление регрессионных зависи­мостей между величинами у и х возможно лишь тогда, когда выполнимы статистические измерения.

Статистические зависимости описывают математическими моделя­ми процесса, т.е. регрессионными выражениями, связывающими независимые значения х (факторы) с зависимой переменной у. Модель по воз­можности должна быть простой и адекватной.

Суть регрессионно-корреляционного анализа сводится к установле­нию уравнения регрессии, т.е. вида кривой между случайными величи­нами (аргументами х и функцией y), оценке тесноты связей между ними, определению достоверности и адекватности результатов измерений. На практике часто возникает потребность в установлении связи между у и многими параметрами х₁, ..., х_п.

Многофакторные теоретические регрессии аппроксимируют поли­номами первого или второго порядка. Математические модели характеризируют стохастический процесс изучаемого явления. Уравнение рег­рессии определяет систематическую составляющую, а ошибки разброса – случайную.

Теоретическую модель множественной регрессии можно получить методом математического планирования, т.е. активным экспериментом, а также пассивным, когда точки фактического пространства выбираются в процессе эксперимента произвольно.

4.9. Определение адекватности теоретических решений

Проверка теоретических данных на адекватность, т.е. соответствие теоретической кривой экспериментальным данным, необходима также во всех случаях на стадии анализа теоретико-экспериментальных иссле­дований.

Методы оценки адекватности основаны на использовании довери­тельных интервалов_, позволяющих с заданной доверительной вероятно­стью определить искомые значения оцениваемого параметра. Суть такой проверки состоит в сопоставления полученной или предполагаемой тео­ретической функции у = f(x) с результатами измерений.

В практике оценки адекватности применяют различные статистиче­ские критерии согласия (критерии Фишера, Колмогорова - для опреде­ления адекватности малых выборок; критерии Пирсона, Романовского - для больших выборок).