- •§1. Вывод уравнения колебания струны.
- •§2. Вывод уравнения колебаний мембраны.
- •§3. Вывод уравнения теплопроводности.
- •§4. Вывод уравнения гидродинамики.
- •§3. О единственности решений задач математической физики.
- •§4. Преобразования Фурье
- •§5. Интеграл Фурье.
- •§6. Метод Фурье (метод разделения переменных)
- •§1.Задача Штурма-Лиувилля
- •§2. Регулярные и сингулярные задачи
- •§3. Свойства собственных функций и собственных значений
- •§4.Общая система решения задач методом Фурье.
- •Метод Гринберга.
- •Неоднородные задачи со сплошным спектром.
- •Специальные функции
- •Свойства г-функции:
- •Цилиндрические функции
- •Модифицированные цилиндрические функции.
- •Поведение модифицированной функции Бесселя при больших значениях аргумента.
- •Задача Штурма-Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями
- •Примеры задач, разрешимых при помощи цилиндрических функций
- •Цилиндрические функции
- •Цилиндрические волны (осевая симметрия)
Методы математической физики.
Вывод основных уравнений.
§1. Вывод уравнения колебания струны.
Рисунок 1
Пусть колебания
а) малые, т.е. угол между касательной к любой точке струны и осью много меньше единицы ( )
б) происходят в одной плоскости
Тогда, мы можем считать, что натяжение в любой точке струны постоянно ( ); т.к. , то
Выделим малый отрезок струны:
Рисунок 2
- линейная плотность
- сила, действующая на 1 метр струны
В проекции на ось :
Рисунок 3
Теорема Лагранжа
- уравнение Даламбера,
где - скорость распространения волны по струне.
Граничные условия:
Начальные условия:
§2. Вывод уравнения колебаний мембраны.
- сила на единицу площади
Рисунок 4
Выделим малый элемент мембраны:
Рисунок 5
Спроецируем силы на рис.5 на оси:
по теореме Лагранжа:
- скорость распространения волн по мембране
- волновое уравнение (уравнение Даламбера)
Начальные условия:
Граничные условия - мембрана закреплена, т.е. смещение равно нулю:
Частный случай:
Мембрана находится под действием силы тяжести, никаких колебаний нет.
Если мембрана является кругом, случай стационарный:
Рисунок 6
граничные условия:
- лапласиан
пусть ; применим граничные условия:
,
т.к. мембрана проседает; графиком является парабола.
§3. Вывод уравнения теплопроводности.
Рисунок 7
- объемная плотность
- удельная теплоемкость
- объемная плотность мощности
- вектор плотности потока тепла на единицу площади
Баланс тепла – все количество теплоты идет на увеличение температуры (нагрев) этого тела.
Выделим малый элемент этого тела:
Рассмотрим процесс в течение малого промежутка времени :
Рисунок 8
- количество тепла, выделившееся внутри объема за время за счет внутренних источников
- количество тепла, втекающего в тело вдоль оси с одной стороны
По теореме Лагранжа:
Полное приращение тепла внутри этого объема:
- приращение температуры
Закон Фурье:
Поток вектора плотности тепла прямопропорционален градиенту температуры
- поток направлен от более нагретым телам к менее нагретым
- коэффициент теплопроводности;
- уравнение Фурье
Начальное условие:
Конечные условия:
1) , где - точка поверхности
2)
3)охлаждение поверхности по закону Ньютона:
,
где - коэффициент пропорциональности
Если , то тепло вытекает из тела, т.е. его температура выше, чем у окружающей среды и наоборот.
Пусть процесс стационарен
- классическое уравнение Лапласа для стационарного распределения температуры.
§4. Вывод уравнения гидродинамики.
Жидкость идеальная, невязкая, т.е. будем рассматривать случай без трения.
Рисунок 9
- давление в жидкости;
- уравнение движения жидкости (II закон Ньютона в механике сплошных сред)
Рисунок 10
В этом случае - изменение скорости за время между I и II
- уравнение Эйлера (уравнение движения идеальной жидкости)
Уравнение неразрывности.
Уравнение неразрывности выражает собой закон сохранения массы.
Рисунок 11
- вектор плотности потока массы
- масса жидкости, втекающая в единицу объема за единицу времени
- закон сохранения массы
- уравнение адиабаты
§5.Безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости.
- безвихревое течение
- несжимаемая жидкость, тогда
,
где - потенциал
граничные условия:
а) на поверхности тела нормальная составляющая скорости
б)
§6. Малые возмущения жидкости.
Будем считать, что скорость мала, т.е. мы будем пренебрегать , то
где - возмущенное значение плотности (малое значение)
,
т.к. и - малые величины
- энтропия
, т.к. движение безвихревое, поэтому
- волновое уравнение
- уравнение Даламбера
§7. Уравнение электростатики.
- теорема Гаусса-Остроградского
- I уравнение Максвелла
- уравнение Пуассона
Рисунок 12
граничные условия
Свойства уравнений математической физики.
§1. Классификация задач математической физики по виду добавочных условий.
I Краевая задача
Подставлены только граничные условия
Рисунок 13
Найти стационарное распределение температуры
- уравнение Лапласа
II Задача Коши
Даны только начальные условия
Рисунок 14
III Смешанная задача
Задаются начальные и граничные условия
Рисунок 15
§2.Классификация задач, связанных с уравнением Лапласа.
Решением уравнения Лапласа является гармоническая функция.
I Задача Дирихле
Требуется найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющие граничным условиям I рода.
т.е. на границе области задается сама функция.
II Задача Неймана
Требуется найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям II рода.
т.е. должна быть задана производная по нормали, как функция в точке.
Функция не произвольная:
Ограничение на функцию - среднее значение этой функции на поверхности должно быть равно нулю, т.е. .
III Смешанная задача
Найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям III рода
Пример задачи Коши:
Решение Даламбера о колебаниях неограниченной струны. Общее решение:
Введем новые переменные
, где
:
Пусть , тогда
, т.е.: