§3. О единственности решений задач математической физики.
Вспомогательное тождество.
Пусть
,
тогда
,
тогда:
I Задача Дирихле
Доказательство (от противного)
Предположим,
что решение не одно, а два:
и
.
Введем функцию
и подставим задачу о её нахождении:
.
Поскольку
и
удовлетворяют граничным условиям, то
.
Воспользуемся тождеством:
,
но
.
II Задача Неймана
Доказательство:
Предположим,
что задача имеет два решения:
и
.
Введем функцию
,
такую, что
;
.
Вспомогательное тождество:
,
т.е. решение справедливо с точностью до любой произвольной константы, т.е. разница между решениями может быть только константа. Прибавление константы с точки зрения физики говорит только о переходе к другой шкале.
III Уравнение Теплопроводности
граничные условия:
-
охлаждение по закону Ньютона
Доказательство:
Пусть
имеется два решения
и
.
Введем функцию
,
тогда
;
;
;
;
.
Из вспомогательного тождества следует:
(граничные условия первого и второго рода)
Правая
часть точно отрицательна, т.к.
отрицательным быть не может
В
начальный момент времени
;
т.к.
,
то отрицательной быть не может, но и
возрастать она тоже не может, а значит
она равна нулю. Отсюда следует, что
задача имеет только одно решение.
Теперь рассмотрим граничные условия третьего рода:
Левая
часть точно не положительна при
,
а правая часть (см. предыдущие рассуждения)
равна нулю, следовательно,
Пример:
-
является решением задачи
,
а
§4. Преобразования Фурье
Пусть
дана функция
на отрезке
(
).
Эту функцию можно представить рядом Фурье:
,
где:
Функция должна иметь конечное число точек разрыва.
Пусть
– чётная, т.е.
,
тогда:
,
Если
же
– нечётная, т.е.
,
то:
и
Пусть
дана функция
,
где
Можно
мысленно продлить функцию
на отрезок
,
тогда мы можем применить ряд Фурье, но
нужно учитывать чётность/нечётность
функции.
В данном случае, при чётной :
,
где
При нечётной :
,
где
Во
втором случае функция
терпит разрыв при
,
в таких точках ряд Фурье даёт среднее
значение, поэтому в таком случае лучше
использовать чётную
с косинусом в ряде Фурье.
§5. Интеграл Фурье.
Интеграл Фурье – частный случай ряда Фурье, когда заданный отрезок стремится к бесконечности:
,
,
Пусть
Произведём замену:
,
тогда
(это соответствует изменению
на единицу)
,
причем:
,
Устремим
к бесконечности, и пусть
,
а
,
тогда:
(*)
При этом:
(**)
Теперь
рассмотрим случай, когда функция
определена на интервале
.
Продлим функцию мысленно влево чётным
(нечётным) образом, тогда при чётной
:
,
В этом случае – косинус-интеграл Фурье.
При нечётной:
,
и – синус-интеграл Фурье.
Тогда функция в случае чётности, высчитывается по формуле:
А в случае нечётности – по формуле:
Подставим в (**) формулы (*):
Введём обозначение:
т.е.
Это
равенство может выполняться только в
том случае, когда
является нулем в любой точке, кроме
окрестности точки
,
где эта функция резко возрастает до
бесконечности, интеграл
– площадь внутри этой функции.
т.е.:
,
где
или:
где
причём значения в показателях экспонент должны быть разные, при этом неважно, где показатель положительный, а где – отрицательный.
В этом случае:
