Контрольные вопросы

1. Что такое генеральная совокупность и выборка изделий?

2. Какие оценки называются состоятельными, несмещенными и эффективными?

3. Как строится полигон?

4. Как строится гистограмма?

5. Характеристики положения случайных величин.

6. Характеристики рассеяния случайных величин.

7. Критерий Колмогорова.

8. Случайные, систематические и грубые ошибки.

9. Критерий Романовского.

3. Выбор наиболее существенных факторов объекта математического моделирования

При построении математических моделей в технологии производства электронных средств первостепенным является вопрос выбора факторов, определяющих величину показателя качества. Очевидным является, что не все факторы являются одинаково важными и задача заключается в упорядочении в ряд всех исследуемых факторов по степени значимости (информативности) и выборе из них оптимального количества для получения аналитической зависимости

y = f (x₁, x₂, …, x_i, …, x_k),

где y – показатель качества электронного средства;

x_i (i = 1, 2, …,k) – факторы, определяющие величину y.

Рассмотрим основные методы выбора факторов для математического моделирования показателей качества электронных средств.

3.1. Метод экспертных оценок

Экспертный метод отличается от статистических тем, что здесь «датчиком» информации служат эксперты (компетентные специалисты). Для ограничения возможности проявления субъективизма при экспертизе и соответственно повышения ее эффективности предлагается следующая аксиоматика метода.

Аксиома 1. Объектом экспертизы служат задачи, которые на данном этапе исследования не могут быть разрешены соответствующими теоретическими или экспериментальными методами.

Аксиома 2. Цель экспертизы формулируется в ясной и четкой форме, не допускающей различных толкований.

Аксиома 3. К экспертизе должны привлекаться специалисты различных научных школ и технических направлений при безусловном исключении лиц, субъективно заинтересованных в одностороннем решении вопроса.

Аксиома 4. Перед проведением экспертизы эксперту необходимо предоставить всю имеющуюся априорную информацию об объекте.

Аксиома 5. Ответы экспертов рассматриваются как результаты независимых опытов. Поэтому при проведении экспертизы должны быть исключены возможности общения экспертов между собой в той мере, в какой это может повлиять на независимость опытов.

Аксиома 6. Резко выделяющиеся результаты (грубые ошибки) должны быть исключены из множества полученных ответов экспертов.

Алгоритм метода

1. Выбор экспертов. Ввиду влияния на ответы экспертов множества случайных причин, результат экспертизы отдельного эксперта по конкретному фактору a_ji (1 ≤ a_ji ≤ M; j=1, 2, …, F, F – число экспертов; i=1, 2, …, M – общее число исследуемых факторов) является случайной величиной, колеблющейся около среднего значения m_i

Тогда наименьшая допустимая численность экспертов F_min в зависимости от вероятности правильного решения задачи P и допустимой погрешности результата экспертизы находится из табл.2.

Таблица 2

Наименьшая допустимая численность экспертов F_min

∆ P	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4	0,5
0,99	166	74	42	27	19	14	11	7
0,97	118	53	30	19	14	10	8	5
0,95	97	43	25	16	11	8	6	4
0,9	68	31	17	11	8	6	5	3
0,85	52	24	13	9	6	5	4	3
0,8	42	19	11	7	5	4	3	2
0,75	35	15	9	6	4	3	3	2

На практике обычно задаются величиной P = 0,95, а значение ∆ выбирается из условия ∆≤0,35.

2. Опрос экспертов. Эксперт наиболее важному фактору ставит ранг 1, второму по важности фактору – 2 и т.д. Наименее важный фактор имеет ранг M. Таким образом происходит ранжировка факторов по натуральному ряду от 1 до M. Когда эксперт считает, что 2 или более факторов имеют одинаковую степень важности, то он им ставит «связанный» ранг, равный среднему значению мест, которые они поделили между собой.

Условием правильной ранжировки для j-го эксперта «связанных» рангов является выполнение равенства:

Например, если факторы x₁ и x₅ при ранжировании по натуральному ряду от 1 до M поделили между собой 3 и 4 места, то им обоим приписывается «связанный» ранг (3 + 4) / 2 = 3,5.

3. Построение матрицы рангов. Результаты опроса F экспертов представляется матрицей рангов с элементами a_ji, имеющей число строк равное числу экспертов и число столбцов равное числу факторов (табл.3).

Таблица 3

Матрица рангов факторов

Эксперт	Фактор
	1	2	…	i	…	M
1	a11	a12		a1i		a1M
2	a21	a22		a2i		a2M
…
j	aj1	aj2		aji		ajM
…
F	аF1	аF2		aFi		aFM

4. Обработка результатов экспертизы:

- грубые ошибки экспертов исключаются из рассмотрения на основе критерия Романовского;

- определяется сумма рангов h_i по каждому параметру

- оценивается степень согласованности мнений экспертов с помощью коэффициента конкордации W (0≤W≤1, W=1 при абсолютном совпадении ответов всех экспертов) по формуле:

при отсутствии « связанных» рангов;

при наличии «связанных» рангов;

где ;

, t_j – число одинаковых рангов в j – строке матрицы;

- оценивается значимость коэффициента конкордации по критерию χ². Расчетное значение χ² равно:

при отсутствии «связанных» рангов;

при наличии «связанных» рангов.

Коэффициент конкордации W считается статистически значимым, если , где ;

- при статистической значимости W производится ранжировка факторов по величине h_i. Фактор, имеющий минимальное значение h_min, считается наиболее важным, а фактор с h_max – наименее важным;

- определяются коэффициенты весомости факторов β_i по формуле

- факторы располагаются в ряд в порядке убывания их коэффициентов весомости, т.е. в порядке убывания их важности.

Рассмотренный метод экспертных оценок имеет недостаток – влияние субъективизма на результат экспертизы. Вместе с тем, объективно признается, что при решении многих задач экспертный метод является единственным и эффективным при современном состоянии знаний об объекте эксперимента.

Пример. За основные электрические параметры электронных приборов – вычитающих потенциалоскопов приняты коэффициент перезаряда, коэффициент подавления и динамический диапазон. Проверка основных параметров осуществляется визуально, присущий при этом субъективизм ограничивает применение данных параметров в качестве информативных для оценки стабильности технологического процесса и отбраковки некачественных потенциалоскопов, а также при прогнозировании их показателей качества в процессе эксплуатации.

Проведенный анализ отказов приборов на стадиях производства, хранения и эксплуатации показал, что наиболее ненадежным узлом потенциалоскопов является катодно-модуляторная часть и основная доля отказов (до 90%) вызвана потерей эмиссионных свойств катода. Для выбора наиболее информативных параметров, характеризующих качество и долговечность изготавливаемых приборов, был предложен ряд электрофизических параметров, не предусмотренных техническими условиями, но характеризующих эмиссионные свойства катода.

В их число были включены следующие восемь параметров:

А – электронное изображение катода при напряжении накала 3 В;

Б – коэффициент качества катода;

В – ток катода при напряжении модулятора равном 0 В;

Г – остаточная величина тока катода;

Д – напряжение модулятора при токе коллектора равном 40 μА;

Е – запирающее напряжение модулятора;

Ж – ток коллектора при напряжении модулятора равном -10 В;

З – время спада тока коллектора с 40 до 32 μА при отключении напряжения накала.

Вследствие отсутствия достаточных статистических данных, полученных по результатам испытаний, для выбора из указанных параметров наиболее информативных был использован метод экспертных оценок.

Для проведения экспертизы были привлечены девять специалистов (Р=0,95; ∆~0,33), представляющих два технических направления:

- специалисты, занятые в сфере производства приборов (группа I);

- специалисты по эксплуатации приборов (группа II).

Результат опроса 9 экспертов представлен нормализованной матрицей рангов параметров в виде табл.4.

Таблица 4

Матрица рангов параметров

Эксперт		Параметры
		А		Б		В		Г		Д		Е		Ж		З
Группа I	1		3		4		6		1		7		8		5		2
	2		4		3		7		1		5,5		8		5,5		2
	3		4		3		5		1,5		7		8		6		1,5
	4		4		3		5,5		1,5		8		7		5,5		1,5
	5		3,5		3,5		5,5		1,5		7		8		5,5		1,5
Группа II	6		1		3		4		2		6,5		8		6,5		5
	7		2,5		4		7		2,5		6		8		5		1
	8		3		4		5		1		7,5		7,5		6		2
	9		2,5		2,5		5		1		7		7		7		4

В строках табл.4 записаны нормализованные ранги j-го эксперта (j=1, 2, …,F; F=9) по i-му параметру (i=1, 2, …,M; M=8). Нормализация рангов осуществляется при наличии «связанных» рангов.

Например, девятый эксперт произвел следующую ранжировку параметров:

Параметр А Б В Г Д Е Ж З

Ранжировка 2 2 4 1 5 5 5 3

Параметры А и Б при ранжировании по натуральному ряду М=1(1)8 поделили между собой 2 и 3 места. Значит им приписывается ранг . Параметры Д, Е, Ж поделили между собой 6, 7, 8 места; им приписывается ранг . Таким образом получим правильную ранжировку для девятого эксперта в виде:

Параметр А Б В Г Д Е Ж З

Ранжировка 2,5 2,5 5 1 7 7 7 4

Аналогичным способом получены ранжировки параметров 1-8 экспертами в табл.4.

После обработки данных табл.4 были получены следующие результаты (расчеты производились по формулам пункта 4 алгоритма метода); они представлены в табл.5.

Таблица 5

Сумма рангов и коэффициент весомости параметров

Параметр h, β	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
hi	27,5	30	50	13	61,5	69,5	52	20,5
βi	0,74	0,71	0,43	0,94	0,27	0,16	0,4	0,84

Вычислены:

W=0,88;

=55,5.

Табличное значение статистики χ² для степеней свободы v=7 и уровня значимости α=0,01 равно 18,475. Так как , то с вероятностью 0,99 можно утверждать, что результаты расчетов не противоречат предположению о согласованности специалистов относительно информативности параметров, степень которой определяется коэффициентом конкордации W=0,88.

Учитывая, что ранжирование параметров проведено экспертами, представляющими две группы специалистов, можно оценить степень согласованности их между собой, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмэна ρ [3]

,

где S(d²) – сумма квадратов разности сопоставляемых пар в ранжировках;

М – число сопоставляемых пар в ранжировках, равное числу параметров.

Величина ρ может принимать значения в диапазоне от -1 до +1; при отсутствии связи между группами эта величина равна 0.

В случае наличия « связанных» рангов:

где

;

t, u – число одинаковых рангов в первой (Z) и второй (Y) ранжировках.

При M>10 для оценки значимости коэффициента ранговой корреляции используется нормальный закон распределения частот появления каждого значения величины ρ и применяется соотношение [3]:

,

где α - вероятность, что .

Коэффициент ρ считается значимым, если расчетное значение суммы квадратов разностей меньше табличного , полученного при заданных уровнях значимости α и М.

Если M≤10, то распределение частот отличается от нормального закона распределения, и этим пренебречь нельзя. В этом случае используются специальные таблицы распределения частот, подсчитанные для каждого M≤10 [3].

Проведя отдельно ранжирование параметров по их информативности для групп I и II (по данным табл.4) и учтя результаты, полученные для всех экспертов совместно (табл.5), приходим к результатам, представленным в табл.6.

Таблица 6

Сводные результаты экспертизы

Вид ранжировки	Параметры									W при α=0,01
	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
X (F=9)	3	4	5	1	7	8	6	2	0,88
Z (FI=5)	4	3	6	1	7	8	5	2	0,92
Y (FII=4)	2	4	5	1	7	8	6	3	0,95

Коэффициент ранговой корреляции для ранжированных рядов Z и Y (табл.6) равен ρ_ZY=0,905. Задаваясь уровнем значимости α=0,01, при М=8 из [3] находим, что =18. Так как ( )=8< , коэффициент ρ_ZY=0,905 можно считать значимым и гипотезу о наличии связи между ранжировками справедливой.

Аналогично можно вычислить коэффициенты для ранжированных рядов (ZX) и (YX). Получим ρ_ZX=0,952, ρ_YX=0,976, значимые при α=0,01.

На основе рассчитанных коэффициентов весомости β_i (табл.5) и при установлении статистической значимости коэффициента конкордации проводится анализ результатов для выбора наиболее информативных параметров. Для этого вычисляется средний коэффициент весомости и выбираются все параметры, значения β_i которых превосходят по величине β_ср.

В данном случае β_ср=0,562 и наиболее информативными параметрами будут: Г, З, А, Б.