4.2.2. Метод экспоненциального сглаживания

При построении математических моделей характерным является то, что вся информация о показателе качества ЭС (как текущая, так и полученная в прошлом) имеет одинаковую ценность и используется в расчетах с одинаковым весом.

При анализе реальных технологических процессов исследователь оперирует исходными данными о показателе качества ЭС, определяемыми условиями протекания процесса (показатели сырья и полуфабрикатов, технологические режимы, параметры технологического оборудования и др.) и изменения данных условий с течением времени. Так как эти изменения носят в основном необратимый характер, то наибольшую ценность при решении задач оценки и прогнозирования состояния технологического процесса, а соответственно и показателя качества ЭС, имеют текущие данные. Данные, полученные в прошлом, могут быть либо совсем исключены из рассмотрения, либо использованы при расчетах с меньшим весом по сравнению с текущими. В данном случае необходимо, чтобы математическая модель позволяла как можно точнее аналитически описывать текущие данные о показателе качества ЭС и совсем не обязательно, чтобы она также хорошо описывала данные, полученные в прошлом.

Такие типы моделей можно получить на основе метода экспоненциального сглаживания. Сущность его заключается в том, что временной ряд измеренных значений показателя качества ЭС сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой вес, придаваемый наблюдениям над показателем качества, подчинен экспоненциальному закону, причем более поздним наблюдениям придается больший вес по сравнению с ранними.

Пусть имеется временной ряд наблюдений показателя качества ЭС y_t (t=1, 2,…, m).

Экспоненциальной средней k-го порядка (k=1, 2,…, n) для ряда y_t является выражение

где α – параметр сглаживания («вес»);

i – число периодов отставания от текущего периода времени t.

Для вычисления значения α используется выражение [5]

Исследования показывают, что практически диапазон значений α ограничивается величиной 0,1 – 0,3.

Брауном [5] выведена рекуррентная формула для определения экспоненциальной средней k-го порядка в момент времени t для ряда y_t в виде:

Из формулы (11) экспоненциальную среднюю первого порядка, т.е. среднюю, получаемую непосредственно при сглаживании данных наблюдений (первичное сглаживание), можно представить в виде:

или

Из выражения (12) следует, что экспоненциальная средняя для момента времени t представляет собой линейную комбинацию всех наблюдений от y₁ до y_t, вес которых возрастает по геометрической прогрессии со временем. В этом выражении является величиной, характеризующей некоторые начальные условия и относящейся к периоду, предшествующему имеющемуся ряду динамики y_t. Если есть соответствующие данные, то в качестве начального условия принимается среднее значение наблюдений, относящихся к прошлому; в противном случае в качестве y₀ принимается первое наблюдение, т.е. y₁.

Построение математической модели для прогнозирования показателя качества ЭС y на основе метода экспоненциального сглаживания покажем на линейной модели вида:

Н а основе теоремы Брауна-Майера система уравнений, связывающих оценки коэффициентов β₀ и β₁ модели (13) с экспоненциальными средними и , имеет вид:

Р ешив ее относительно b₀ и b₁, получим:

Тогда прогнозируемое значение y по модели (13) равно:

где l – интервал прогноза, l=1, 2,…, L.

Ошибка прогноза при этом равна:

где σ_ε – средняя квадратичная ошибка, вычисленная для отклонений от линейного тренда.

Аналогичным образом вычисляются оценки коэффициентов и ошибка прогноза для моделей более высокого порядка. Формулы расчетов для квадратичной модели приведены в [5].

Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания на конкретном примере.

Пример. На стадии производства (при испытаниях на долговечность) электронных приборов – вычитающих потенциалоскопов, был получен следующий временной ряд изменения тока катода прибора: 745; 770; 725; 740; 710; 681; 662, т.е.

Замеры производились от 0 до 300 ч. через каждые 50ч.

Тренд ряда (18) можно аппроксимировать линейной моделью

полученной методом наименьших квадратов, при этом вычисленное среднее квадратическое отклонение от линейной модели .

Вычислим прогноз величины I_k на момент времени Т_пр=350 ч (прогноз на 50 ч), используя данные ряды (18), методом экспоненциального сглаживания.

Сначала по формуле (10) рассчитаем величину α при m=7, а по формулам, приведенным в [5], найдем начальные условия:

Затем по рекуррентной формуле (11) вычислим значения и , а из выражений (14) и (15) – значения коэффициентов b₀ и b₁:

Тогда с учетом выражения (16) получим у₈=667,6 - 16,7=650,9, т.е. , при этом ошибка прогноза, вычисленная по формуле (17), равна .

Результат прогноза тока катода хорошо согласуется с экспериментальным значением , полученным после испытаний потенциалоскопа на долговечность.

При использовании для прогноза модели (19), полученной методом наименьших квадратов, имеем у₈=655, т.е. , что существенно отличается от .

Таким образом, применение метода экспоненциального сглаживания для построения модели прогнозирования качества потенциалоскопа позволило повысить точность прогноза в сравнении с методом наименьших квадратов.

Метод экспоненциального сглаживания целесообразен и эффективен при построении математических моделей в случаях, когда текущим наблюдениям над показателем качества необходимо придать больший вес по сравнению с прошлым.