2.5. Статистическая проверка гипотез

Под статистическими понимают гипотезы, которые относятся к отдельным параметрам закона распределения СВ или к самому закону.

В теории простых гипотез проверяемую гипотезу обозначают через Н₀ и называют ее нулевой гипотезой. Конкурирующую гипотезу называют альтернативной и обозначают Н₁.

ГИПОТЕЗА О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ

Берутся две выборки изделий объемом n₁ и n₂. У изделий контролируется параметр Х и вычисляются значения

Нулевая гипотеза Н₀: .

Альтернативная -Н₁: .

При НЗР параметра Х для проверки гипотезы Н₀ используется F-критерий Фишера. Для этого:

а) вычисляется

(1)

б) определяется табличное значение F_табл.

где α – уровень принимаемого решения ,

в) сравниваются F_расч. и F_табл..

Если F_расч.<F_табл., то гипотеза о равенстве дисперсий в двух выборках справедлива с вероятностью .

Если F_расч.≥F_табл., то с вероятностью верна гипотеза Н₁.

ГИПОТЕЗА ОБ ОДНОРОДНОСТИ ДИСПЕРСИЙ

Для K выборок одинакового объема n по результатам контроля СВ Х вычислены дисперсии Необходимо проверить отличается ли хотя бы одна выборка по дисперсии от остальных.

Гипотеза Н₀: дисперсии однородны (нет отличия).

Гипотеза Н₁: дисперсии неоднородны (отличаются).

Для проверки гипотезы используется G-критерий:

а) находится ,

где - максимальная дисперсия из вычисленных;

б) определяется табличное значение G_табл.,

;

в) сравниваются G_расч и G_табл.

Если G_расч.<G_табл., то принимается гипотеза Н₀ с вероятностью Р=1-α.

Если G_расч.≥G_табл., то принимается гипотеза Н₁ с вероятностью Р=1-α.

ГИПОТЕЗА О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ

Берутся две выборки изделий объемом n₁ и n₂. По результатам контроля параметра Х вычисляются значения

Нулевая гипотеза Н₀:

Альтернативная –Н₁:

Для проверки гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Для этого:

а) проверяется равенство дисперсий (см. гипотезу о равенстве дисперсий);

б) вычисляется расчетное значение t_расч.

в) определяется t_табл.=f(α,υ), где

г) сравниваются t_расч. и t_табл..

Если t_расч.<t_табл., то принимается гипотеза Н₀ с вероятностью Р=1-α.

Если t_расч.≥t_табл., то принимается гипотеза Н₁ с вероятностью Р=1-α.

ГИПОТЕЗА О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

1. Для проверки соответствия экспериментальных данных НЗР часто используется критерий Колмогорова.

Для этого:

а) строится эмпирическая функция распределения F^*(x) по выборке объемом n в интервале x_min≤X≤x_max (см. п. 2.2);

б) строится теоретическая функция распределения F(x) в интервале

x_min≤X≤x_max, путем нахождения величин для всех х_i, где x_i – среднее значение i-го интервала, а Ф – табулированная функция Лапласа;

в) функции F^*(x) и F(x) наносятся на один график;

г) определяется максимальная величина модуля разности между F^*(x) и F(x):

д) определяется вспомогательная величина

е) определяется вероятность из таблицы:

λ	0,33	0,57	0,97	1,0	1,07	1,22	1,36	1,63
P	1	0,9	0,3	0,27	0,2	0,1	0,05	0,01

ж) если то принимается гипотеза: экспериментальное распределение статистических данных СВ подчиняется нормальному закону.

2. Оценку соответствия результатов эксперимента НЗР можно осуществить используя критерий Пирсона.

Сущность критерия:

а) строится распределение СВ Х в интервале x_min≤X≤x_max (см. п. 2.2);

б) вычисляется

где q – число интервалов длиной l ;

m_i – число значений СВ, попавших в i-й интервал;

n – объем выборки;

– вероятность попадания СВ в i-й интервал (Φ – табулированная функция Лапласа [2] ) ;

в) определяется табличное значение , где . Значения табулированы [2];

г) сравниваются и .

Если < , то с вероятностью Р=1-α принимается гипотеза: экспериментальное распределение СВ Х подчиняется НЗР. Если ≥ , то с вероятностью Р=1-α оно не соответствует нормальному закону распределения.

На практике большее применение для проверки НЗР имеет критерий Колмогорова.