4.3.3. Дробный факторный эксперимент

При большом числе исследуемых факторов ПФЭ становится неэффективным, так как число опытов с ростом k увеличивается по показательной функции (N = 2^k). Однако при этом снижаются ошибки в определении коэффициентов ММ, так как все опыты используются для оценки каждого из коэффициентов.

Число опытов можно сократить, применяя для проведения эксперимента план дробного факторного эксперимента (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить линейное приближение искомой функциональной зависимости y = f(x₁, x₂,…,x_i,…., x_k).

Допустим, что необходимо получить приближенную ММ показателя качества изделия от трех технологических факторов. Для решения задачи можно ограничиться только четырьмя опытами, если в плане ПФЭ 2² произведение приравнять третьему фактору x₃ (табл.15).

Таблица 15

Матрица планирования ДФЭ 2^3-1 при х₃=х₁×х₂

№ опыта	№ опыта ПФЭ 23	х1	х2	х3=х1×х2	у
1	5	-1	-1	+1	у1
2	2	+1	-1	-1	у2
3	3	-1	+1	-1	у3
4	8	+1	+1	+1	у4

В записи плана ДФЭ 2^k-p p означает количество взаимодействий факторов приравненным независимым переменным. ДФЭ 2^3-1 – половина ПФЭ 2³, т.е. полуреплика от ПФЭ 2³.

Приведенное планирование в табл.15 позволяет оценить коэффициент b₀ и коэффициенты при факторах x₁, x₂, и x₃,: b₁, b₂, b₃. Применение ДФЭ всегда связано со смешанной оценкой коэффициентов ММ. В нашем примере, если коэффициенты β_ij при парных взаимодействиях факторов не строго равны 0, то каждый из коэффициентов b_i будет оценкой двух теоретических коэффициентов:

так как столбцы матрицы планирования для линейных членов и парных взаимодействий совпадают (полностью коррелированы).

Если после проведения эксперимента с числом опытов равным четырем (табл. 15) у исследователя возникнут сомнения в том, что β_ij=0 (в нашем случае b₁₂=0), то он может провести еще четыре опыта, приравняв теперь x₃ к – x₁x₂(табл.16).

Таблица 16

Матрица планирования ДФЭ 2^3-1 при х₃= -х₁×х₂

№ опыта	№ опыта ПФЭ 23	х1	х2	х3=-х1×х2	у
1	1	-1	-1	-1	у1
2	6	+1	-1	+1	у2
3	7	-1	+1	+1	у3
4	4	+1	+1	-1	у4

Из табл.16:

Если взять среднее из сумм и разностей для первой и второй системы совместных оценок, то получим раздельные оценки коэффициентов:

Объединение представленных полуреплик (табл.15 и табл.16) дает ПФЭ 2³ и потому раздельные оценки b₀, b_i, b_ij получаются лишь с помощью ПФЭ. Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок коэффициентов ММ.

ДФЭ 2^k-p при заданных k и p может иметь различную систему смешивания и исследователь стремится к тому, чтобы максимальное число линейных эффектов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Поэтому актуальным является вопрос о разрешающей способности дробной реплики, т.е. возможности раздельной оценки коэффициентов ММ.

Для характеристики разрешающей способности ДФЭ вводятся понятия «генерирующего соотношения (ГС)» и «определяющего контраста (ОК)». ГС показывает, с каким из эффектов смешан данный эффект. ОК получается умножением ГС на зависимый фактор (т.е. тот, который вводят в план эксперимента вместо взаимодействия). ОК – символическое обозначение произведения столбцов, равного 1.

Было показано, что ДФЭ 2^3-1 может быть представлен двумя различными полурепликами, каждая из которых характеризуется одним из следующих ГС:

х₃=х₁х₂; х₃= -х₁х₂.

ОК получается умножением левой и правой частей ГС на х₃. При этом получаются элементы первого столбца матрицы планирования, всегда равные 1:

=1=х₁х₂х₃; =1= -х₁х₂х₃.

Значение ОК позволяет определить всю систему совместных оценок, не изучая матрицу планирования. Для этого надо последовательно умножить независимые переменные на ОК:

или

Чтобы получить высокую разрешаемую способность стремятся так выбрать план ДФЭ, при котором линейные эффекты были бы смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка (они чаще бывают равными 0) или с теми взаимодействиями, о которых априори известно, что они не оказывают влияния на показатель качества изделия. Оценить разрешающую способность помогает ГС: чем больше символов входит в него, тем выше разрешающая способность. Например, в ДФЭ 2^4-1 в качестве ГС могут быть взяты

х₄=х₁х₂х₃ или х₄=х₁х₂.

Определим ОК и с их помощью найдем системы совместных оценок:

1=х₁х₂х₃х₄ и 1=х₁х₂х₃,

х₁=х₂х₃х₄, х₁=х₂х₄,

х₂=х₁х₃х₄, х₂=х₁х₄,

х₃=х₁х₂х₄, х₃=х₁х₂х₃х₄,

х₄=х₁х₂х₃, х₄=х₁х₂,

х₁х₂=х₃х₄, х₁х₃=х₂х₃х₄,

х₁х₃=х₂х₄, х₂х₃=х₁х₃х₄,

х₁х₄=х₂х₃, х₃х₄=х₁х₂х₃.

Отсюда для b₁ имеем:

Дальнейший анализ показывает, что если для экспериментатора важны оценки линейных эффектов, то в качестве ГС следует взять х₄=х₁х₂х₃.

Дробные реплики с максимальным числом символов ГС называют главными. При исследовании многофакторных ТП применяют реплики и большей степени дробности:

1/4; 1/8; 1/16 и т.д.

Пример: ПФЭ 2¹⁰, N=1024;

ДФЭ 2^10-6 (1/64 реплика), N=16.

Статистическая обработка результатов эксперимента и получение ММ для ДФЭ ничем не отличается от ПФЭ. Свойства ПФЭ 2^k сохраняются и для ДФЭ.

Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все сведения об исследуемом ТП, как теоретического, так и экспериментального характера, а в некоторых случаях и интуитивного характера. На основании этих сведений необходимо выделить те факторы и их произведения, влияние которых на показатель качества изделия минимально. Кроме того для электронных средств и их ТП производства всегда имеются некоторые невозможные сочетания или взаимодействия факторов (например, для ЭС – низкая температура и высокая влажность).