4.2. Пассивный эксперимент для мм
4.2.1. Регрессионный анализ
Пусть имеется только один фактор х, определяющий y.
х - неслучайная величина ;
y - случайная величина, принимающая значения в некотором интервале.
y = f(х).
Эта
зависимость ищется в виде
.
Реально
модель имеет вид
(8) , которая показывает, как в среднем
изменяется величина y
при изменении величины х
в заданном диапазоне. Здесь b0
и b1
являются оценками теоретических
коэффициентов β0
и
β1.
Уравнение (8) - уравнение регрессии y по х. Графическое изображение (8) – кривая регрессии.
Коэффициенты уравнения b0 и b1 находятся по экспериментальным данным методом наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.
Имеем экспериментальные данные:
X |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
Y |
y1 |
y2 |
… |
y1 |
… |
yn |
Суть
МНК: минимизируется сумма квадратов
отклонений измеренных значений yi
от значений
, вычисленных по уравнению регрессии
(рис. 3).
Рис.3. Линейное уравнение регрессии
МНК:
Выполнение условия (9) обеспечивается так:
по коэффициентам b0 и b1 уравнения (8) определяются частные производные функции u и приравниваются к нулю. В результате образуется система нормальных уравнений, число которых равно числу неизвестных коэффициентов.
Для (9) имеем:
1)
2)
П
олучили
систему
Решив ее, найдем b0 и b1.
На основе регрессионного анализа можно получить уравнение регрессии вида
В этом случае система нормальных уравнений имеет вид:
Решается на ЭВМ с использованием стандартной программы.
Мы
рассмотрели построение линейных
относительно х
уравнений
регрессии. Но на практике приходится
иметь дело и с нелинейными зависимостями
.
При определении коэффициентов таких
функций иногда удается путем замены
переменных привести ее к виду
,
т.е. линейному виду. Такая процедура
называется выравниванием
эмпирической формулы. Далее b0
и b1
находятся МНК, а затем производится их
пересчет к а
и b.
Нелинейные
зависимости
1.
Степенная функция
.
Применяется логарифмическое преобразование:
Замена переменных:
;
Получим
,
где
2.
Показательная функция
Логарифмическое преобразование:
Замена переменных:
.
Получим
где
3.
Функция вида
Преобразование:
Замена переменных:
Получим
где
Более подробно о регрессионном анализе см. в [4].
Пример.
Построить математическую модель
по следующим экспериментальным данным
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Y |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Д
ля
нахождения коэффициентов b0
и b1
уравнения регрессии используем систему
уравнений при n=5:
П
одставив
значения xi
и
yi
в
систему, имеем:
Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим:
Искомая математическая модель имеет вид:
