Двойственность кванторов.
Не для всех x истина. Значит, что существует x, где ложь, а не истина.
Не существует x, где истина. Значит, для всех x ложь, а не истина.
Определение формулы.
Определение 4.
Термом будем называть любую предметную переменную или константу. Под термом будем понимать функциональную букву – терм.
Определение 5.
Атомарной формулой (атомом) будем называть любое переменное высказывание (из числа логических высказываний) или предикат. Предикат – атомарная формула.
Определение 5.
Любой атом – формула.
Если A и B – формулы, то тоже формулы.
Других формул нет.
Таким образом, вся логика высказываний входит в логику предикатов. Логика предикатов занимается теорией вывода.
Определение 6.
Интерпретацией будем называть систему, состоящую из непустого множества D, называемого областью интерпретации (универсумом), и некоторого соответствия предметной букве.
n-местное отношение, т. е. .
Каждой n-местную функцию, т. е. .
Каждой константе любой предикат из D .
Замечание.
В данной интерпретации любая формула без свободных переменных есть высказывание. А любая формула со свободными переменными – отношение, которое может быть или истинным или ложным.
Лекция № 3. Булевы функции (фал).
Три типа формул:
-
Общезначимая ППФ – истинна при любой интерпретации.
-
Противоречивая ППФ – ложна при любой интерпретации.
-
Остальные (выполнимые) истинны хотя бы при одной интерпретации.
Пример.
-
╞
«Из общего следует частное».
Докажем от противного.
Имеем область интерпретации D, где принимает значение «ложь».
╞ – ложь.
Для всех x истинна, но , где – ложь. D быть не может.
-
╞
«Из частного следует тоже частное».
Докажем от противного.
Имеем область интерпретации D, где принимает значение «ложь».
╞ – ложь.
Возможно только, если x = y. Противоречие.
Теорема 1.
а) ╞
б) ╞
Вычисление значений формул для данного присвоения значений переменных состоит из вычислений значений логической функцией, поставленной в соответствие этой A, а значение всей формулы совпадает с вычислениями из примеров 1 и 2.
Следствие.
╞, то ╞.
╞
(из частного не следует общее).
Теорема 2.
Пусть x – некоторая предметная переменная и B – формула, не имеющая свободного вхождения x. A(x) – формула.
а) ╞, то ╞
б) ╞, то ╞
а) Пусть для некоторой D, где B принимает значение ложь. По определению импликации (понятно). Пусть имеется D, где B принимает значение истины. А если A(x) истина, то тоже истина .
б) Доказывается аналогично.
Следствие.
╞, то ╞
-
╞ 1 аксиома
-
╞
-
╞ MP(1,2)
Применяя теорему 2а можем на А(x) навесить квантор общности.
-
╞
-
╞, где ╞
-
╞ MP(4,5)
Логика предикатов как формальная система.
Термы.
– счётное множество предметных переменных.
– непустое конечное или счётное множество предметных символов.
– пустое, конечное или счётное множество функциональных символов
– пустое, конечное или счётное множество предметных констант.
Логические связки:
Кванторы:
Вспомогательные символы:
Других термов нет.
Правила построения ППФ.
-
Любая атомарная ППФ – суть атом (атомарная формула) ППФ, переменная логики высказывания или предикат.
-
Если А и B – ППФ и x – предметная переменная, то – ППФ.
-
Других правил нет.
Система аксиом.
11 аксиом.
12.
13.
-
Все аксиомы суть теоремы (выводимы).
-
Правило подстановки, но имеем дело с такой подстановкой термов вместо в формулу A. После подстановки будет свободна для этих термов.
-
Правило обобщения (Gen). Если выводимо ├, где B не имеет свободного вхождения x, то ├.
-
Правило конкретизации (Ex). Если выводимо ├, где B не имеет свободного вхождения x, то ├.
-
Modus ponens (MP).
-
Если A – теорема, имеющая квантор или , то теоремой будет A’, полученная из A путём замены одной связанной переменной буквами отличными от букв связанных переменных.
-
Других нет.
Будем считать, что некоторая ППФ ├ (далее для краткости ├).
-
├
-
├, то ├
-
├ и ├, то ├
-
├, если и не имеют свободного вхождения x, то ├
-
├, то ├
-
├, то ├, получено из B путём подстановки вместо свободных вхождений в B переменных.
-
├, то ├, получено из B переименованием связанных переменных.
Теорема Дедукции.
Если ├, то ├,
├
-
├ 9 аксиома
-
├ подстановка
-
├ MP
-
├ т. дедукции
-
├ т. дедукции
-
├ силлогизм(2,5)
Правило соединения посылок:
├
├
-
├
-
├ 3 аксиома
-
├
-
├ MP(1,2)
-
├ условие 1
-
├ MP(4,5)
-
├ MP(1,3)
-
├ MP(6,7)
-
├
├
-
├ 5 аксиома
-
├ подстановка
-
├
-
├ MP(2,3)
-
├ подстановка
-
├
-
├ силлогизм(5,6)
-
├ подстановка
-
├ следствие теоремы дедукции
(правило перестановки мест посылок)
|