4.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
4.1.Определения и примеры
Определение. Линейным пространством называется множество Х объектов любой природы, в котором введены две операции, условно называемые «сложением» и «умножением на число». Сложение сопоставляет каждым двум элементам линейного пространства некоторый третий элемент из этого множества Х; умножение на число сопоставляет каждому элементу пространства и каждому числу некоторый элемент из этого же множества Х.
Эти две операции могут определяться любыми фиксированными правилами, лишь бы выполнялись следующие 7 аксиом Г. Вейля (ниже a, b, c – любые элементы пространства, λ и μ – любые числа):
1.a + b = b + a;
2.a + (b + c) = (a + b) + c;
3.существует элемент, обычно обозначаемый жирным нулем, такой что
a + 0 = 0 + a = a;
4.1 a = a;
5.λ·(a + b) = λa + λb;
6.(a + b) · λ = λa + λb;
7.(λμ)a = λ(μa).
Элементом, противоположным а, называется элемент –а = (–1) а. Разностью элементов a и b называется сумма элемента а с элементом, противоположным b: a – b = a + (–b).
Если в качестве чисел в линейном пространстве используются только вещественные числа, то такое линейное пространство называется вещественным, если используются все комплексные числа, то линейное пространство называется комплексным.
Объекты, из которых состоит линейное пространство, в дальнейшем называются его элементами или его векторами или его точками.
Замечания.
1. Аксиомы Вейля запоминать не обязательно, но надо понимать, что они позволяют обращаться с элементами линейного пространства так же, как с обычными векторами (поэтому в некоторых источниках вместо термина «линейное пространство» используется термин «векторное пространство»). Например, из аксиом Вейля следует, что: а) нулевой элемент единствен; б) 0 a 0 , так как a 1 a 1 0 a 1 a 0 a a 0 a , откуда a a 0 a , и следовательно, 0 a 0 ; в) a a 0 для каждого элемента a , так как a a 1 a 1 a 1 1 a 0 a 0 ; г) в равенствах слагаемые можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком, д) равенства можно умножать на любое число и т. д.
43
2. Если не оговорено противное, то в дальнейшем мы рассматриваем вещественные линейные пространства, множество вещественных чисел обозначаем символом R.
Примеры.
1. Множество векторов в пространстве с обычным сложением и умножением на число является вещественным линейным пространством. Множество векторов в пространстве с положительными координатами не является линейным пространством, так как произведения векторов из этого множества на отрицательные числа не принадлежат этому множеству (и в рамках этого множества не определены).
2.Множество непрерывных на отрезке [a, b] функций с обычным сложением и умножением на число является линейным пространством.
3.Множество всех матриц не является линейным пространством, так как складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Однако множество всех матриц фиксированного размера т × п (т. е. состоящих из т строк и п столбцов) является линейным пространством.
4.Множество всех многочленов с обычным сложением и умножением на число является линейным пространством. Множество многочленов фиксированной степени п не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может иметь меньшую степень, чем п
(например, (2х2 + 3х – 1) + (–2х2 + х + 2) = 4х + 1). Однако множество всех многочленов степени не выше п является линейным пространством.
Определение. Говорят, что в линейном пространстве L введено скалярное произведение, если задано правило, по которому любым двум элементам x, y L сопоставляется число, обозначаемое (х, у) и называемое скаляр-
ным произведением х на у, и при этом выполнены следующие свойства:
1. x, y y, x ;
2. x, y x, y |
; |
3.x y, z x, z y, z ;
4.x, x 0 x и x, x 0 x 0.
Определение. Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.
Определение. Два вектора евклидова пространства называются взаимно перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Заметим, что нулевой вектор согласно введенному определению перпендикулярен любому другому вектору линейного пространства.
Определение. Модулем вектора х евклидова пространства называется число x 
x, x .
Определение. n-мерным вектором, или n-мерной точкой, или n-кой
называется упорядоченная совокупность n чисел x x1, x2 , , xn , числа x1, x2 , , xn называются компонентами вектора. Множество всех n-мерных векторов обозначается R n .
44
Определение. Сумма векторов x x1, x2 , , xn и |
y y1, y2 , , yn |
|||||
в R n по определению есть вектор x y x |
y , x |
y |
, , x |
y |
n |
. Про- |
1 |
1 2 |
2 |
n |
|
|
|
изведение вектора x x1, x2 , , xn |
на число по определению есть век- |
тор x x1, x2 , , xn . |
|
Нетрудно показать, что множество Rn с введенными в нем операциями сложения векторов и умножения вектора на число является линейным
пространством, |
причем |
роль нулевого элемента играет |
n-ка вида |
|
0 0, 0, |
, 0 , |
а элемент, |
противоположный x x1, x2 , , xn |
имеет вид |
x x1, x2, |
, xn . |
|
|
|
Определение. Скалярным произведением двух n-мерных векторов называется число xy x, y x1 y1 x2 y2 xn yn .
Также нетрудно показать, что введенное скалярное произведение n-мерных векторов обладает всеми свойствами скалярного произведения, т. е. R n является евклидовым пространством.
4.2. Линейная зависимость и независимость
Определение. Линейной комбинацией элементов , |
,…, |
линей- |
ного пространства Х называется выражение вида λ1a1 2a2 |
nan , где |
|
λ1, λ2,…, λn – произвольные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Наиболее важным понятием теории линейных пространств является понятие линейной зависимости элементов пространства.
Определение. Элементы , ,…, линейного пространства Х называются линейно зависимыми, если для них можно подобрать такие коэффициенты λ1, λ2,…, λn, не все равные нулю так, что линейная комбинация
векторов , ,…, |
с коэффициентами λ1, λ2,…, λn является нулевым |
|
элементом. |
|
|
Иными словами, элементы , ,…, |
линейного пространства Х яв- |
|
ляются линейно зависимыми, если для них можно подобрать такие коэффициенты λ1, λ2,…, λn, не все равные нулю, что выполняется равенство
λ1 |
λ2 |
…+ λn n |
(4.1) |
Следовательно, элементы , |
,…, |
линейного пространства Х яв- |
|
ляются линейно независимыми, если равенство (4.1) выполняется для них только при следующем наборе коэффициентов:
λ1 = λ2 = = λn = 0. |
(4.2) |
Свойства введенных понятий.
45
1. Элементы , ,…, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них есть линейная комбинация остальных.
Доказательство. Необходимость. Пусть выполняется равенство (4.1),
причем хотя бы один из коэффициентов не равен 0 (для определенности, ). Тогда, деля (5.1) на λn, получаем
a |
|
1 |
a |
2 |
a |
... |
n 1 a |
, |
|
||||||||
n |
|
n |
1 |
n |
2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
а это и означает, что |
есть линейная комбинация остальных элементов. |
|||||||
Достаточность. Пусть один из данных элементов (для определенности ) есть линейная комбинация остальных, т. е. выполняется равенство
. Перенося все слагаемые направо, по-
лучим |
|
, а это равенство – вида (4.1), |
причем коэффициент при |
равен –1 ≠ 0, а это и означает линейную зави- |
|
симость элементов , |
,…, . |
|
2. Два элемента |
и |
линейно зависимы тогда и только тогда, когда |
они пропорциональны, т. е. когда существует такой коэффициент λ, что выполняется равенство (это свойство – частный случай предыдущего, когда п = 2).
3. Если среди данных элементов есть нулевой, то они обязательно ли-
нейно зависимы. Действительно, если |
, то |
|
, |
а это – равенство вида (5.1), причем |
. |
4. Если к набору линейно зависимых элементов присоединить еще один или несколько элементов, то этот расширенный набор элементов тоже окажется линейно зависимым. Действительно, если выполняется равенство (4.1), причем один из коэффициентов не равен нулю, то выполняется
и равенство |
|
…+ |
, |
причем тот же коэффициент остается ненулевым.
5. Если из набора линейно независимых элементов удалить один или несколько элементов, то оставшиеся элементы тоже заведомо линейно независимы.
Рассуждаем «от противного»: если бы оставшиеся элементы оказались линейно зависимыми, то присоединив к ним удаленные элементы, мы снова получили бы исходный набор элементов, который по предыдущему свойству линейно зависим. Получено противоречие, доказывающее, что предположение было неверным, и оставшиеся элементы линейно независимы.
Примеры.
1. В пространстве непрерывных на [–π, π] функций рассмотрим два набора функций:
46
(а) |
у1 = 1, |
у2 = cos x, |
y3 = cos 2x; |
(б) |
у1 = 1, |
у2 = cos2x, |
y3 = cos 2x. |
Набор (б) линейно зависим, так как по известным формулам тригонометрии cos 2x = 2cos2x – 1, т. е. у3 = 2у2 – у1 (одна из функций является линейной комбинацией остальных), или, что то же, у1 – 2у2+ у3 = 0 (выполняется равенство вида (4.1)). Набор (а) линейно независим. Действительно, если выполняется равенство λ1у1 + λ2у2 + λ3у3 = 0, т. е. равенство
λ1 + λ2cos x + λ3cos2x = 0
при всех х [–π, π], то, в частности, оно выполняется и при х = 0, х = π ∕2,
х = π, т. е. выполняются равенства: λ1 + λ2 + λ3 = 0, λ1 – λ3 = 0, λ1 – λ2 + λ3 = 0. Отнимая от первого равенства третье, получаем 2λ2 = 0, следовательно, λ2
= 0. |
С учетом этого запишем первое и второе равенства λ1 + λ3 = 0, λ1 – λ3 |
= 0. |
Складывая и вычитая их, получаем λ1 = 0 и λ3 = 0. Значит, линейная |
комбинация функций набора (а) обращается в нуль при всех х [–π, π] только тогда, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю, но это равносильно линейной независимости функций набора (а).
2. В том же пространстве рассмотрим |
набор из 4-х функций: |
|
y1 = x3arctg 2x, y2 = xe–sinx, y3 = ln(1 + x2), y4 = |
|
xe sin x . Этот набор функ- |
2 |
||
ций линейно зависим, так как функции у2 и у4 пропорциональны (коэффициент пропорциональности равен 
2 ) и, следовательно, у2 и у4 линейно зависимы, а значит (по 4-му свойству) и набор всех 4-х функций тоже линейно зависим.
Лемма (о линейной зависимости линейных комбинаций). Пусть в линейном пространстве Х зафиксированы любые п элементов и пусть т > n.
Тогда любые их т линейных комбинаций обязательно линейно зависимы (т. е. если из данных п элементов составить достаточно много (>n) линейных комбинаций, то эти линейные комбинации окажутся линейно зависимыми).
Доказательство (по индукции по числу п). База индукции. Пусть
п = 1, т > 1 (пусть для определенности т = 2) и пусть единственный данный элемент есть а1, а линейные комбинации суть b1 = λ1а1 и b2 = λ2a1. Если λ1 = 0, то b1 = 0, и по 3-му свойству элементы b1 и b2 линейно зависимы,
а если λ1 ≠ 0, то b2 2 b1, т. е. элементы b1 и b2 пропорциональны, и зна-
1
чит, линейно зависимы. База индукции подведена.
Индукционный переход. Пусть лемма уже доказана любых данных п элементов а1, а2,…, ап, т. е. доказано, что если т > n, то любые т линейных комбинаций векторов а1, а2,…, ап линейно зависимы.
Докажем, что аналогичное утверждение верно и для n+1 вектора а1, а2,…, ап, ап+1. Рассмотрим т +1 линейную комбинацию векторов а1, а2,…,
ап, ап+1 при т +1 > n+1
47
bk = λk1ak1 + λk2ak2 +…+ λknakn + λk,n+1ak,n+1 |
(k = 1, 2,…, m + 1). |
Если все λk,n +1 = 0 (k = 1, 2,…, m + 1), то элементы bk являются факти- |
|
чески линейными комбинациями лишь п элементов а1, а2,…, ап, и по индукционному предположению они линейно зависимы. Если же среди этих коэффициентов есть ненулевые (для определенности λт + 1,n+1 ≠ 0), то вычтем из каждого из первых п элементов bk элемент bт+1 с таким коэффициентом, чтобы коэффициент при ап +1 в этих линейных комбинациях стал
|
k ,n 1 |
n |
|
равным 0. Получим равенства bk |
bm 1 ckj akj , k = 1, 2, …, т, |
||
m 1,n 1 |
|||
|
j 1 |
где сkj – некоторые новые коэффициенты. Так как полученные разности
p |
b |
|
k ,n 1 |
b |
являются линейными комбинациями лишь п элемен- |
|
|||||
k |
k |
|
|
m 1 |
|
|
|
|
m 1,n 1 |
|
|
тов а1, а2,…, ап, а их число т > п, то по индукционному предположению они линейно зависимы, т. е. найдутся коэффициенты μk, не все равные нулю такие, что μ1р1 + μ2р2 +…+ μт рт = 0, или, что то же,
m |
|
k ,n 1 |
|
|
|
|
k bk |
bm 1 |
|
0 . |
|||
|
||||||
|
|
m 1,n 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
||
m 1
Это равенство можно переписать в виде kbk 0 (где μп+1 – неко-
k 1
торый коэффициент), а это и значит, что элементы b1, b2…, bm +1 линейно зависимы. Индукционный переход совершен, и лемма доказана полностью.
В евклидовом пространстве есть простой способ выявления линейной зависимости и независимости векторов путем вычисления следующего определителя.
Определение. Определитель, составленный из скалярных произведений векторов x1, x 2 , , x k евклидова пространства, называется определите-
лем Грама |
x1, x1 |
|
x1, x2 |
|
x1, xk |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 , x1 |
x2 , x2 |
|
x2 , xk |
. |
(4.3) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
xk , x1 |
|
xk , x2 |
|
xk , xk |
|
|
Теорема Грама [5]. Векторы x1, x2 , , xk евклидова пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель Грама, составленный по этим векторам, не равен нулю.
С доказательством можно ознакомиться в [5].
48