- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
- •1.1. Комплексные числа в алгебраической форме
- •1.2. Полярные координаты
- •1.3. Комплексные числа в тригонометрической форме
- •1.4. Комплексные числа в показательной форме
- •2. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
- •2.2. Кратные корни многочленов. Признаки кратности корня
- •3. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- •3.2. Определение определителя и его простейшие свойства
- •3.3. Свойства линейности определителей
- •3.4. Теоремы о разложении, замещении и аннулировании
- •3.5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •3.6. Ранг матрицы и способы его вычисления
- •4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
- •4.1. Определения и примеры
- •4.2. Линейная зависимость и независимость
- •4.3. Размерность пространства. Теорема о базисе
- •4.5. Подпространства и действия над ними
- •5.1. Основные определения. Теорема Кронекера – Капели
- •5.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •5.3. Общее решение СЛАУ
- •5.4. Метод Жордана – Гаусса решения СЛАУ
- •Список литературы
1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1.Комплексные числа в алгебраической форме
Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел: z x, y .
Замечание. «Упорядоченная» означает, что указано, какое число считается первым, а какое – вторым. Первое из этих чисел называется вещественной частью числа z и обозначается символом x Re z , второе число называется мнимой частью и обозначается y Im z . Пары чисел можно
рассматривать как координаты точки или координаты вектора (п. 6.1) на плоскости. Плоскость с выбранной на ней декартовой системой координат, на которой откладываются комплексные числа, называется комплекс-
ной плоскостью (или Гауссовской плоскостью). Ось абсцисс на такой плоскости называется вещественной осью, а ось ординат – мнимой осью. Чтобы не заботиться о порядке этих чисел в данной паре, около второго числа ставят символ i и записывают комплексное число в виде z x yi .
Символ i обычно называют мнимой единицей. Числа вида x 0 i обычно отождествляют с обычными вещественными числами и обозначают просто x (на комплексной плоскости они располагаются на вещественной оси), а числа вида 0 y i называют чисто мнимыми (они располагаются
на мнимой оси).
Определение. Запись комплексного числа в виде z x yi называется
алгебраической формой записи комплексного числа. Два комплексных чис-
ла называются равными, если равны одновременно их вещественные и мнимые части. Таким образом, равенство двух комплексных чисел z1 z2 ,
где z1 x1 y1i , |
z2 x2 y2i |
равносильно системе равенств |
x |
x |
1 |
2 . Ком- |
|||
|
|
|
y1 |
y2 |
плексное число, у которого вещественная и мнимая части равны нулю, называется нулевым и обозначается 0 0 0 i . Суммой двух комплексных чи-
сел z1 x1 y1i и z2 x2 y2i называется новое комплексное число, определяемое формулой w z1 z2 x1 x2 y1 y2 i . Таким образом,
комплексные числа, рассматриваемые как векторы, складываются по правилу параллелограмма или, что то же самое, – по правилу треугольника (п. 6.1). Вычитание – это действие, обратное сложению, т. е. равенство w z1 z2
равносильно равенству z1 w z2 , поэтому w z1 z2 x1 x2 y1 y2 i. Отличие теории комплексных чисел от векторной алгебры на плоскости заключается в том, что в множестве комплексных чисел кроме операций сложения и умножения вводятся еще две операции: умножение комплексных чисел между собой и обратная операция – деление комплексных чисел
5
друг на друга. По определению, произведением комплексных чисел z1 x1 y1i , z2 x2 y2i называется новое комплексное число, определяемое формулой:
w z1 z2 x1x2 y1y2 x1y2 x2 y1 i .
Можно доказать, что только при таком определении сумма и произведение комплексных чисел обладают всеми привычными свойствами суммы и
произведения вещественных чисел. В частности, |
по этой формуле |
i2 i i 0 1i 0 1i 0 0 1 1 0 1 0 1 i 1. |
Поэтому иногда го- |
ворят, что i – это корень квадратный из –1, хотя это имеет смысл лишь на комплексной плоскости (т. е. в множестве векторов на плоскости), а в множестве вещественных чисел такого корня не существует. Благодаря этому обстоятельству можно не запоминать формулу, по которой перемножаются комплексные числа, а перемножать их как биномы, т. е. по-
членно, но в произведении заменять i2 на –1. Например,
|
|
2 3i 3 – 4i 6 9i – 8i – 12i2 6 i 12 18 i. |
|
|
|
||||
Замечание. |
Очевидно, что i0 1, i1 i , i2 1, i3 i , i4 1, i5 i , |
||||||||
i6 1, i7 |
i , |
i8 1, …. Вообще, для любых целых n (даже отрицатель- |
|||||||
ных) i4n 1 |
i , i4n 2 1, i4n 3 i , i4n 1. Например, i79 i4 19 3 |
i . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Модулем комплексного числа z x yi называется число |
|
z |
|
|
|
x2 y2 . |
|||
|
|
||||||||
Числом, сопряженным к данному комплексному числу z x yi |
|
называ- |
ется число z x yi . Очевидно, что на комплексной плоскости сопряженные комплексные числа изображаются векторами, симметричными друг другу относительно вещественной оси, что z z и что произведение двух сопряженных комплексных чисел есть вещественное число, равное квадрату модуля каждого из них: zz x2 y2 | z |2 | z |2 . Эти замечания позво-
ляют легко вычислять частное от деления двух комплексных чисел друг на друга. По определению, деление есть действие, обратное умножению,
т. е. равенство w |
z1 |
равносильно равенству z |
w z |
2 |
. Это равенство |
|
|||||
|
z2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в свою очередь равносильно системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v , где w u vi . Можно убедиться, что эта система всегда имеет решение, если только z2 0 и записать формулы для этого
решения в общем виде. Однако все этого можно не делать, так как если числитель и знаменатель дроби домножить на число, сопряженное ее знаменателю, то знаменатель станет вещественным, и мы получим алгебраическую форму частного:
6
|
z |
|
x y i |
|
x1 y1i x2 y2i |
|
x x x y i x y i y y i2 |
|
|||
w |
1 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
1 2 2 1 1 2 1 2 |
, |
|
z2 |
x2 y2i |
x2 |
y2i x2 |
y2i |
x22 y22 |
||||||
|
|
|
|
|
откуда заменяя i2 на –1 и деля почленно, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
x1x2 y1 y2 |
|
x2 y1 x1 y2 |
i . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
x22 y22 |
|
x22 y22 |
|
|
|||||
|
|
Именно |
так |
делят комплексные |
числа. Например, |
|||||||||||||
z2 4 5i , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
2 3i |
|
2 3i 4 5i |
|
8 10i 12i 15i2 |
|
7 22i |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
4 |
5i 4 5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
2 |
4 5i |
16 |
25 |
41 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если z1 2 3i ,
417 2241 i .
1.2. Полярные координаты
Определение. Полярной системой координат на плоскости называется выбранная на плоскости числовая полуось PR. Она называется полярной полуосью, а ее начало P – полюсом.
Определение. Пусть на плоскости выбрана полярная система координат PR. Тогда полярными координатами точки М на плоскости называется упорядоченная пара чисел r, , первое из которых равно расстоянию
от точки М до полюса: r PM , а второе равно углу (в радианах) между
радиус-вектором PM точки М и направлением полярной полуоси:
MPR.
Теорема (о связи декартовых и полярных координат). Пусть на плос-
кости выбраны две системы координат: декартовая XOY и полярная PR, причем полярная полуось совпадает с положительной частью оси абсцисс декартовой системы. Тогда для любой точки М на плоскости ее декартовые координаты x, y и полярные r, связаны соотношениями:
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
y |
, |
|
если x 0; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x r cos |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, |
|
arctg |
|
y |
|
|
если x 0; |
|
|
(1.1) |
||||||||||
y r sin |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|||
|
|
|
|
, если |
; |
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
2 |
|
y 0. |
7
Доказательство: очевидно из определений и чертежа (рис. 1.1). Замечания. 1. В отличие от декартовых координат полярными коор-
динатами не могут быть любые числа, так как обязательно r 0 .
В отличие от декартовых координат полярные координаты точки определяются не однозначно, так как полярный угол точки определяется не однозначно, а с точностью до целого кратного 2 . Чтобы восстановить однозначность, вводится понятие главного значения полярного угла. Главным значением 0 полярного угла называется то его значение, которое
удовлетворяет неравенству: 0 . Очевидно, что главное значение
полярного угла определяется однозначно, а общее значение определяется через главное по формуле: 0 2 k, k 0, 1, 2, .
В отличие от декартовых координат в полярных координатах есть точка, а именно, полюс Р, у которой полярным углом считается любой угол: координаты точки Р есть 0, , где – любой угол, , .
|
|
Пример. Точка с декартовыми коорди- |
|||||
y |
M |
натами (1,1) имеет в выбранной полярной |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
системе полярные координаты |
2, |
||||
|
|
|
|
. |
|||
|
r |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
P |
x |
|
|
|
Рис. 1.1 |
Все точки положительной части оси абс-
Rцисс имеют полярный угол, равный 0, а отрицательной части – угол .
1.3. Комплексные числа в тригонометрической форме
Определение. Пусть на комплексной плоскости выбраны две системы координат: декартовая и полярная, причем полярная полуось совпадает с положительной частью вещественной оси. Тогда для любого комплексного числа z x yi полярные координаты представляющей его точки
M x, y называются его модулем и аргументом и обозначаются соответственно r z и Arg z , а главное значение аргумента обозначается
0 arg z .
Замечания.
1. Модуль комплексного числа был уже определен раньше, и, очевидно, новое определение совпадает со старым.
2. Ясно, что модуль и аргумент комплексного числа вычисляются по его вещественной и мнимой части по тем же формулам (1.1), которые приведены выше.
Определение. Запись комплексного числа через его модуль и аргумент называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
8
Следствие. Тригонометрическая форма записи числа z x yi имеет вид
z r cos i sin |
(1.2) |
Действительно, используя формулы (1.1), получаем:
z x yi r cos r sin i r cos i sin ,
т. е. формулу (1.2).
Пример. Используя пример из п. 1.2, получаем тригонометрическую
форму числа 1 i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 cos |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
Замечание. Сравнивая соответствующие определения, мы видим, что |
||||||||
два комплексных числа z1 r1 cos 1 i sin 1 и z2 r2 |
cos 2 i sin 2 |
, за- |
писанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны: r1 r2 , а аргументы либо равны, либо отличаются на це-
лое кратное 2 : 1 2 2 k .
Теорема 1.1. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, т.е.
r |
cos |
isin |
r |
cos |
2 |
isin |
2 |
|
r r |
cos |
|
2 |
isin |
2 |
. |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
1 2 |
1 |
|
1 |
|
Доказательство. Перемножая комплексные числа почленно в левой части доказываемого равенства и используя формулы тригонометрии для косинуса суммы и синуса суммы, получим
r cos |
i sin |
|
r cos |
2 |
i sin |
2 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
r |
cos cos |
2 |
sin sin |
2 |
i sin cos |
2 |
cos sin |
2 |
|
|||||
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||
r1 |
r2 |
cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) , |
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
Следствие. В частности, при возведении комплексного числа в натуральную степень n его модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени, т.е. справедлива формула
r cos |
isin n rn cos n isin n . |
|
|
При r 1 последняя формула принимает вид
cos isin п cos п isin п ,
который называется формулой Муавра.
9
Теорема 1.2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются, т. е.
r |
cos |
isin |
: r |
cos |
2 |
isin |
2 |
r1 cos – |
2 |
isin |
– |
2 |
. |
|||||
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
r2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Деление – это действие, обратное умножению. |
|||||||||||||||||
Иными словами, если обозначить частное через |
w |
z1 |
|
R cos i sin , |
||||||||||||||
z2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то это значит, что wz2 z1. По предыдущей теореме и по условию равенст-
ва комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, это значит, что выполняются два равенства: R r2 r1 , 2 1 2 k , откуда
R |
r1 |
, |
|
|
2 k , а это и означает справедливость доказываемого |
|
2 |
||||
|
r2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
равенства ( 2 k под знаком синуса или косинуса можно не писать).
Следствие о геометрическом смысле умножения и деления комплекс-
ных чисел. При умножении комплексного числа w на комплексное число z , вектор, изображающий первый множитель, удлиняется в число раз, равное модулю второго множителя, и поворачивается на угол, равный аргументу второго множителя. Этот поворот происходит против часовой стрелки, если аргумент второго множителя положителен, и по часовой стрелке, если аргумент второго множителя отрицателен.
Аналогично, при делении комплексного числа w на комплексное число z, вектор, изображающий первый множитель, укорачивается в число раз, равное модулю второго множителя, и поворачивается на угол, равный аргументу второго множителя. Этот поворот происходит по часовой стрелке, если аргумент второго множителя положителен, и против часовой стрелки, если аргумент второго множителя отрицателен.
В частности, умножение и деление на комплексное число, модуль которого равен 1, означает просто поворот на угол, равный аргументу этого числа.
Пример. Вычислить (1 + i)20.
Решение:
|
20 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
20 |
|
20 |
|
20 |
|
||
1 i |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
cos |
|
i sin |
|
|
|
cos |
|
i sin |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
210 cos5 i sin 5 1024.
Теорема 1.3 (об извлечении корня из комплексного числа). Существует ровно n различных корней натуральной степени n из любого ненулевого комплексного числа z r cos i sin , и все они задаются формулой
10
|
|
|
n |
|
n |
|
cos 2k |
|
2k |
|
|
|
|
n |
|
r cos i sin |
i sin |
|
|
||||||
w |
z |
r |
, |
(1.3) |
||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
где k пробегает множество значений
S 0,1, |
, n 1 . |
(1.4) |
Доказательство. Равенство w nz R(cos isin ) означает, что
wn z . По правилу возведения комплексных чисел в натуральную степень и по условию равенства комплексных чисел, записанных в тригонометри-
ческой форме, получаем два равенства: Rn r , n 2 k . Отсюда следует, что все корни задаются формулой (1.3). Осталось доказать, что если k пробегает не все натуральные числа, а только множество S , то тем не менее мы получим, во-первых, все корни, и, во-вторых, каждый только один раз.
Докажем, что когда k пробегает все значения из S , мы получаем все корни из данного числа. Иными словами, докажем, что для любого l S
найдется такое число m S , что формула (1.3) при k l и k m даст одинаковое значение корня. Для этого поделим число l на n с остатком (напоминаем, что остаток по определению обязательно должен принадлежать множеству S, например, –26 : 7 = –4 (остаток 2), так как –26 = 7(–4) + 2) и обозначим неполное частное через q . Тогда l nq m , где m S, но это
значит, что
|
2πl |
2π nq m |
2πm 2qπ , |
|
n |
n |
n |
т. е. дроби 2πm |
и 2πl |
отличаются на целое кратное числа 2 и по- |
|
n |
n |
|
|
тому формула (1.3) дает одинаковые корни. |
|
||
Осталось доказать, что при разных k1 |
и k2 из S формула (1.3) дает |
разные корни. Для этого достаточно доказать, что аргументы этих корней
отличаются меньше, чем на 2 . Но |
0 |
|
k1 k2 |
|
n 1. Поэтому |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
2πk |
|
2πk |
|
|
|
|
2 |
|
k1 k2 |
|
π |
|
2 n 1 π |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
Теорема доказана полностью.
Следствие. Все корни n-ой степени из данного комплексного числа z располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного многоугольника (n-угольника) с центром в начале координат с радиусом описан-
ной окружности, равным n| z | . Действительно, числа, определяемые формулой (1.3), имеют одинаковый модуль при всех k из S, и, значит, все
11