В27. Система уравнений Лагранжа Эйлера. Полная кинематическая энергия (т) манипулятора.

Система уравнений Лагранжа Эйлера

Динамику ИУ представленного на рис.(см.в26), моделируем с помощью системы уравнений Лагранжа-Эйлера (ЛагранжаII рода) , где – функция Лагранжа, Т – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия, q, q_i и Q_i – обобщенные координаты звеньев.

Рассмотрим случай идеальных связей между звеньями (отсутствуют силы связанные с упругими деформациями, трением и т.д.)

Полная кинематическая энергия (Т) манипулятора

Т=Т₁+Т₂+Т₃, где , т.е.

где - угловая скорость поворота траверсы.

, где по теореме Штейнера, - собственный момент инерции тела вдоль оси параллельной требуемой оси и проходящей через центр масс тела, - расстояние между И-ными осями, m – масса звена.

, где - массы суммы горизонтально перемещающихся тел.

Если момент инерции .

Тогда полная кинетическая энергия: , где - массы суммы вертикально перемещающихся тел.

Если – является постоянной для данной кинематич. схемы манипулятора.

Тогда, разделив и умножив левую и правую части выражения Т на получаем .

В28. Кинематическая энергия звеньев иу. Теорема Штайнера.

Кинематическая энергия звеньев ИУ

, т.е.

где - угловая скорость поворота траверсы.

, где по теореме Штейнера, - собственный момент инерции тела вдоль оси параллельной требуемой оси и проходящей через центр масс тела, - расстояние между И-ными осями, m – масса звена.

, где - массы суммы горизонтально перемещающихся тел.

Если момент инерции .

Тогда полная кинетическая энергия: , где - массы суммы вертикально перемещающихся тел.

Если – является постоянной для данной кинематич. схемы манипулятора.

Тогда, разделив и умножив левую и правую части выражения Т на получаем .

Теорема Штайнера

момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I_С относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния  между осями .

В29. Обобщенная сила Qi и силовые факторы привода. Уравнения для выбора приводов отдельных звеньев манипуляторов.

Запишем производные от кинетич. энергии по обобщенным координатам^

производные по положению , и

производные по скорости , и

Производные по времени от полученных частных производных

Обобщенные силы q_i выразим через развиваемые соотв. приводами вращающие моменты поворота F₁, усилия подъема F₂ и усилия выдвижения F₃

Движение подъема должно преодолевать весовую нагрузку.

Полученные выражения подставляем в уравнения Лагранжа II рода получим: /

Полученные уравнения позволяют обоснованно выбирать привода отдельных звеньев манипулятора. Как для обоспечения заданного закона движения, так и для безотказной работы механич. механизмов в неблогиприятных условиях с точки зрения динамики положения звеньев в словиях ( наибольшем выдвижении штанги руки, режиме разгона и торможения реверса, внезапные изменения нагрузки и т.д.)