Зависимость между величинами. Уравнение регрессии. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
Две величины могут быть независимы или связаны функциональной, вероятностной или корреляционной зависимостью.
Величины называются независимыми, если значение одной величины не зависит от значения другой.
При функциональной зависимости, каждому значению одной величины отвечает вполне определенное значение другой (одно или несколько)
При вероятностной (стохастической, статической) зависимости, каждому значению одной величины отвечает множество значений другой величины, причем каждое из значений «y» имеет вполне определенную вероятность.
Вероятностная зависимость называется корреляционной, если с изменением одной величины изменяется только среднее значение другой, а дисперсия и закон распределения не меняются.
Независимые величины Функциональная Вероятностная
зависимость
корреляционная
Распределение плотности вероятности, соответствующей фиксированному значению одного из параметров, называется условным распределением, а соответствующие этому распределению средние значения и дисперсия соответственно условными средними и условными дисперсиями.
Линии, соединяющие условные средние, называются линиями регрессии или теоретическими кривыми регрессии (regression-движение назад, возвращение).
Уравнение, выражающее изменение условного среднего значения одного параметра в зависимости от значения другого, называется уравнением регрессии или уравнением корреляционной связи.
(регрессия y
на x)
При методе наименьших
квадратов коэффициенты уравнения
регрессии
рассчитывается
так, чтобы сумма квадратов отклонении
экспериментальных значение от расчетных
была наименьшей.
Если
- степенная зависимость
,
то коэффициенты уравнении регрессии
могут быть найдены:
Определение коэффициентов уравнения регрессии встроенными функциями Mathcad
Коэффициенты уравнение регрессии y=a0+a1x определяются следующими функциями.
Пример: При обработке партии валов, износ инструмента приводит к увеличению размера деталей. В этом случае: а1 – износ инструмента при обработке одной детали, а0 – уровень первоначальной настройки станка.
(в данном случае
следует принять yi=i,
,
)
Рис. Диаграмма разброса диаметров обработанных деталей в зависимости от номера детали.
Коэффициент корреляции
Рассмотрим
корреляционную зависимость x
и y,
определим коэффициенты линейного
уравнения регрессии
методом наименьших квадратов.
(1)
(2)
Переместим начало
координат в точку
.
Обозначим
,
- центрированные значения.
Покажем, что сумма
,
.
(разделим на
)
Запишем уравнение регрессии для новой системы координат.
(1) 
т.е
линия регрессии проходит через
(2) 
Запишем уравнения обратной регрессии x на y:
Система уравнений в центрированном виде:
(3)
(4)
Т.е
или
Обозначим
-
коэффициент корреляции.
Геометрически коэффициент корреляции – это отношение тангенсов угла наклона прямой и обратной регрессии.
Если между величинами
существует линейная функциональная
связь, то линии прямой и обратной
регрессии совпадают (
).
Е
сли
величины x
и y
независимы, то
.
Однако, если , то это не означает, что связи нет.
Определение коэффициента корреляции встроенными функциями Mathcad
