2.2.3. Перевод целых чисел в десятичную систему счисления.

Для перевода целых чисел из произвольной позиционной системы счисления в десятичную систему счисления необходимо, представить искомое десятичное число в форме многочлена (будет представлять собой сумму n+1+m слагаемых, n+1 – количество разрядов в целой части исходного числа, m – количество разрядов в дробной части исходного числа). Каждое слагаемое многочлена соответствует одному из разрядов исходного числа и равно по весу цифры этого разряда. Слагаемое является произведением двух сомножителей:

1) Десятичное число равно собственному весу цифры соответствующего разряда;

2) является степенью, основание этой степени является основание системы счисления, а показатель – номер разряда.

Пример 2.3. Дано двоичное число N₂= 1010100. Выполнить перевод этого числа в десятичную систему счисления:

1010100₂ = 1∙2⁶ + 0∙2⁵ + 1∙2⁴ + 0∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ + 0-2⁰ = 64 + 0 + 16 + + 0 + 4 + 0 + 0 = 84₁₀.

Пример 2.4. Дано восьмеричное число N₈ = 7020354. Выполнить перевод этого числа в десятичную систему счисления:

7020354₈ = 7∙8⁶ + 0∙8⁵ + 2∙8⁴ + 0∙8³ + 3∙8² + 5∙8¹ + 4∙8⁰ =

= 1835008 + 0 + 8192 + 0 + 256 + 40 +4 = 1843500₁₀.

Пример 2.5. Дано шестнадцатеричное число N₁₆ = cf4. Выполнить перевод этого числа в десятичную систему счисления:

cf4= 12∙16² + 15∙16¹ + 4∙16⁰ = 3072 + 240 + 4 = 3316₁₀.

2.2.4. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q

Общий прием перевода целых чисел из десятичной позиционной системы в позиционную систему с основанием q заключается в следующем. Необходимо разделить данное число на основание q. Полученный от деления остаток будет младшим разрядом числа в новой системе. Затем частное от деления необходимо снова разделить на q .Остаток от деления будет следующим разрядом числа в новой системе. Такое последовательное деление необходимо продолжать до получения частного, которое будет меньше, чем q. Это частное будет старшим разрядом числа в новой системе счисления.

Пример 2.6. Дано десятичное число N₁₀= 41. Выполнить перевод этого числа в двоичную систему счисления:

1) 41 : 2 = 20 (1), 20>2;

2) 20 : 2 = 10 (0), 10>2; ;

3) 10 : 2 = 5 (0), 5>2;

4) 5 : 2 = 2 (1), 2>2;

5) 2 : 2 = 1 (0), 1< 2 - конец перевода.

Итак, 41₁₀ =101001₂.

Пример 2.7. Дано десятичное число N₁₀ = 141. Выполнить перевод этого числа в восьмеричную систему счисления:

1) 141 : 8 = 17 (5), 17>8;

2) 17 : 8 = 2 (1), 2 < 8 - конец перевода.

Итак, 141₁₀ = 215₈.

Пример 2.8. Дано десятичное число N₁₀ = 541. Выполнить перевод этого числа в шестнадцатеричную систему счисления:

1) 541 : 16 = 33 (13), 33 > 16;

2) 33 : 16 = 2 (1), 2 < 16 - конец перевода.

Итак, 541₁₀ = 21d₁₆.

2.2.5. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q

Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую необходимо умножить эту дробь на q — основание системы, в которую осуществляется перевод. При этом будут получены целая и дробная части. Целая часть произведения будет первой после запятой цифрой искомой дроби. Дробную часть первого произведения снова необходимо умножить на q. Целая часть этого произведения — вторая цифра искомой дроби. Процесс умножения необходимо последовательно продолжать до тех пор, пока дробная часть, произведения не окажется равной нулю, или не обнаружится период, или не будет достигнута требуемая точность.

Пример 2.9. Дано десятичное число N₁₀ = 0.625. Выполнить перевод этого числа в двоичную систему счисления:

1) 0.625 ∙ 2=1.250→1;

2) 0.250 ∙ 2= 0.500 → 0;

3) 0.500 ∙ 2= 1.000 → 1 (дробная часть произведения равна нулю). Итак, 0.625₁₀ = 0.101₂.

Пример 2.10а Дано десятичное число N₁₀ = 0.6. Выполнить перевод этого числа в двоичную систему счисления:

1) 0.6 ∙ 2= 1.2→ 1;

2) 0.2 ∙ 2= 0.4→ 0;

3) 0.4 ∙ 2= 0.8→ 0;

4) 0.8 ∙ 2= 1.6→ 1;

5) 0.6 ∙ 2= 1.2→ 1;

6) 0.2 ∙ 2= 0.4 → 0; ;

7) 0.4 ∙ 2= 0.8 → 0;

8) 0.8 ∙ 2= 1.6 → 1 (период: 1001).

Итак, 0.6₁₀ = 0.(1001)₂.

При переводе неправильной дроби отдельно производят перевод целой и дробной частей числа.

Пример 2.10б. Дано десятичное число N₁₀ = 10.6. Выполнить перевод этого числа в двоичную систему счисления.

1. Переводим целую часть числа:

1) 10: 2=5 (0);

2) 5 : 2=2 (1);

3) 2 : 2=1 (0);

Итак, 10₁₀ =1010₂.

2. Переводим дробную часть числа. Она равна 0.(1001)₂ (см. пример 2.10). Таким образом, 10.6₁₀= 1010.(1001)₂.

Аналогично осуществляется перевод из десятичной системы счисления в любые другие системы счисления.