Сетевой логический вывод

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Эквивалентные преобразования позволяют получить более компакт-

ное представление:

tr A

P(N , N ) N & z4 (P(N , S(z4 )) A(P(N , z4 ), S(z4 ))) &z4 z2 (P(S(z4 ), z2 ) S(P(z4 , S(z2 ))))&

z1 ( A(z1 , N ) z1 ) &

z1 z4 ( A(z1 , S(z4 )) S( A(z1 , z4 )))

3.5.Представление логических формул схемами направленных от-

ношений.

Используя известные процедуры построения пренексной формы,

дизъюнктивной нормальной формы, двойственной формы скулемизации и декомпозиции конъюнктивных членов в матрице до уровня квазиэлемен-

функциональные переменные, появившиеся в процессе скулемизации формулы).

указанные предикатные и функциональные переменные, а также новые

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 11

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

рые строятся нижеследующим способом по дизъюнктивным компонентам

логической формулы zi1 zi 2 ...&Bij . Множество точек сети Si есть,

i j

по определению, множество индивидных переменных zi1 , zi 2 ,..., связанных кванторами существования и имеющих хотя бы одно вхождение хотя бы в одну квазиэлементарную формулу Bi1 , Bi 2 ,..., каждая из которых вносит в

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 12

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

3.6. Представление логических формул в исчислении сильного

включения схем направленных отношений.

полним первые четыре пункта процедуры приведения, подробно описан-

ной в 3.3, и получим представление формулы A в виде Y1 Y2 ...

zi1 zi 2 ...&Bij , где Y1 ,Y2 ... – введенные при скулемизации функцио-

i j

нальные переменные, zi1 , zi 2 ... – связанные кванторами существования ин-

дивидные переменные, входящие хотя бы в одну из квазиэлементарных

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 13

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 14

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

щезначима, если она выполнима для любой реляционной интерпретации

.

тиворечива, если она не выполнима для любой реляционной интерпрета-

ции .

Построим теперь систему (конечное множество) «включений» сете-

делены на рис. 3.1. Заметим, что все определяемые сети имеют одинако-

аргументами которых являются переменные zi1 , zi 2 ... , а значения задают-

ся соответствующими логическими формулами.

если и только если построенная для нее вышеописанным способом система включений сетевых языков не выполнима ни для какой согласованной с

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 15

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Рис. 3.1. Трансляция квазиэлементарных формул.

Т е о р е м а 3 .4. Формула языка исчисления предикатов первого порядка

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 16

3.СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

сравенством общезначима, если и только если построенная для нее систе-

ма включений противоречива.

3.7.Метод сетевой резолюции.

Эта раздел посвящен рассмотрению реализации логического вывода средствами теории направленных отношений на примере задачи доказа-

тельства общезначимости формул языка исчисления предикатов первого порядка с равенством и основана на результатах, изложенных в предыду-

щих разделах этой главы.

Используемый нами термин сетевая резолюция относится к процеду-

ре вывода общезначимости формул языка исчисления предикатов первого порядка на базе сетевого представления схем направленных отношений.

Основными отличиями сетевой резолюции от традиционного резолютив-

ного логического вывода являются:

базирующаяся на сетевом представлении схем d -отношений техника проведения доказательства, в частности, выполнения тех действий, ко-

торые являются аналогом процедуры унификации;

отказ при доказательстве от явного использования эрбрановской интер-

претации и, вследствие этого, получение в ходе доказательства (воз-

можно, не успешного!) в компактной сетевой форме функциональных уравнений, решения которых представляют собой модели рассматрива-

емой формулы при любых интерпретациях предикатных символов;

использование прямого вывода истинности заданной формулы, а не до-

казательства тождественной ложности инверсной, что потребовало применения не традиционной, а двойственной формы скулемизации;

применение специальной техники доказательства формул с равенством на базе сетевого представления схем d -отношений;

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 17

3.СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

наконец, элиминация самой процедуры резолюции за счет использова-

ния рекурсивной подстановки на сетях, составляющей основу механиз-

мов вычислений рекурсивных d -отношений.

Рис. 3.2. Правила редукции сетей с функциональными и предикатными сортами элементов.

Как было показано в разделе 3.4, логическая формула, общезначи-

мость которой требуется установить, может быть представлена конечным

с определенными ограничениями на интерпретацию элементов этого бази-

са. Эти ограничения отражают требования к возможным интерпретациям предикатных и функциональных переменных в логике первого порядка, и

очевидно, что они могут быть выражены в форме сетевых эквивалентно-

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 18

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

стей, показанных на рис. 3.2 ( a,b,c, d ). Количество таких дополнительных эквивалентностей вида ui ui конечно в силу конечности базиса.

Общезначимость рассматриваемой логической формулы, очевидно,

равносильна истинности утверждения

j

Si – в противном случае. Кванторы, требующие существования

значений индивидных переменных zi1 , zi 2 ..., отражают условие существо-

вания фигурирующей в определении реляционной интерпретации сети Si

функции разметки.

Отсюда следует справедливость следующей теоремы:

Т е о р е м а 3 . 5 . Задача установления общезначимости формулы языка исчисления первого порядка с равенством сводится к проблеме выводимо-

нии сильной реляционной эквивалентности конечных множеств сетей (ко-

нечных сетевых языков).

Рассмотрим процесс направленного применения эквивалентных пре-

образований, формализующих свойства функциональности и тотальности

1 Напомним, что – пустая сеть арности 0,0 .

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 19

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

элементов базиса (см. рис.3.2 a и рис.3.2 b ). Замена в любой из сетей, вхо-

дящей в рассматриваемое множество (в начальный момент это множество

{S1 , S2 ,...}), фрагмента вида левой части эквивалентности на фрагмент вида правой части приводит к упрощению этой сети, т.к. в ней уменьшается ко-

личество элементов, и, следовательно, эти преобразования отвечают усло-

вию нетеровости. Аналогичным образом обстоит дело и с преобразовани-

ями, вытекающими из ортогональности интерпретаций элементов базиса

P и P , представляющих некоторую предикатную переменную. Вхожде-

ние с одинаковыми входными точками пары элементов таких сортов в од-

ну сеть (рис. 3.2 c ) означает, что для любой допустимой интерпретации вся эта сеть представляет пустое отношение и, следовательно, она может быть исключена из рассматриваемого множества сетей. При этом такое преоб-

разование множества сетей тоже является упрощающим, т.к. уменьшает мощность рассматриваемого множества сетей и, вследствие этого, име-

ет свойство нетеровости.

Помимо указанных преобразований, мы можем использовать сохра-

няющие реляционную интерпретацию преобразования общего вида:

ции элементов базиса. Известны два общего вида способа получения

множестве сетей (напомним, что все сети – арности 0,0 ) пустой сети,

представляющей истинностное значение true , то первое преобразование бесполезно. В лучшем случае в процессе дальнейших преобразований эти новые элементы будут удалены из сетей, в которые они были добавлены,

но наличие этих новых элементов не может иметь следствием удаление других элементов. Отождествление же точек может в некоторых случаях

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 20