Сетевой логический вывод

3.СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

3.9.Сетевая резолюция в логике первого порядка с равенством.

Теперь вернемся к языку исчисления предикатов первого порядка с

равенством. Рассмотрим два варианта вывода для этого случая.

1.Во-первых, возможна элиминация равенства путем аксиоматизации свойств предиката равенства и использование в дальнейшем описанной выше модели доказательства. Это может быть сделано следующим об-

разом. Путем добавления новых индивидных переменных, связанных кванторами существования, и дополнительных равенств вида x x ,

преобразуем квазиэлементарные формулы к виду, когда все индивид-

ные переменные во всех исходных квазиэлементарных формулах, кроме

ричность и транзитивность) выражаются в форме следующих аксиом:

a)x Exx ;

b)x y( Exy Eyx) ;

c)x y z( Exy & Eyz Exz) .

Cетевое представление отрицаний этих аксиом, показанное на рис. 3.10, присоединяется к множеству сетей, для которых и проводится вывод.

Рис. 3.10. Сетевое представление свойств равенства (отрицание аксиом).

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 31

3.СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

2.Во-вторых, возможно непосредственное использование правила резо-

люции по отношению равенства, основанное на аналоге приведенной

Применение этого правила (его сетевое представление показано на рис. 3.11) в процессе вывода связано с некоторыми проблемами. С одной стороны, в отличие от правил редукции, отражающих особенности интер-

претации элементов базиса, правило резолюции по равенству не обладает свойством нетеровости. С другой стороны, для правила резолюции по ра-

Рис. 3.11. Правило резолюции по отношению равенства.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 32

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

венству нет способа перехода к рекурсивной подстановке без суще-

ственных потерь в эффективности представления. Однако, при выводе об-

F"

цикл

Рис. 3.12. Вид посылок в правилах сетевой резолюции по отношению равенства.

щезначимости формул языка исчисления предикатов первого порядка с ра-

венством есть ситуации, в которых необходимо применять правило сете-

вой резолюции по равенству, если соответствующие компоненты формулы существенны для построения вывода. Это связано с тем, что другие преоб-

разования не могут повлиять на наличие этих ситуаций, разве что привести к исключению содержащих их сетей как представляющих пустые отноше-

ния. Эти ситуации показаны на рис. 3.12. В первой из них «расщепляемая» точка является одновременно выходом двух элементов различных функци-

ональных сортов F и F , а во второй – расщепляемая точка входит в некоторый цикл.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 33

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

3.10.Пример.

Вкачестве примера вывода рассмотрим простую задачу из теории групп. Требуется доказать, что x (Fxx E) x y (Fxy Fyx) .

Здесь F (2) – групповая операция, а E(0) – единица группы. К пред-

ставлению доказываемой формулы следует присоединить отрицания акси-

ом группы:

( A1) x y z(FxFyz FFxyz) , ( A2,3) x(FxE x & FEx x) ,

( A4,5) x(Fx Ix E & FIx x x) ,

Рис. 3.13. Аксиомы группы A1 A5 и посылка Q (отрицания), заключение С .

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 34

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

где I (1) – унарная операция получения обратного элемента.

Все сетевые представления – заключения ( C ), отрицаний посылки

( Q ) и аксиом ( A1 A5 ) приведены на рис. 3.13 (для рассматриваемого вы-

вода аксиомы обратного элемента не потребуются). Процесс вывода иллю-

стрирует рис. 3.14.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 35

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Рис. 3.14. Пример вывода сетевой резолюцией по равенству

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 36

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Рис. 3.14. Пример вывода сетевой резолюцией по равенству (продолжение).

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 37

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Рис. 3.14. Пример вывода сетевой резолюцией по равенству (продолжение 2).

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 38

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Рис. 3.14. Пример вывода резолюцией по равенству (продолжение 3).

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 39

3. СЕТЕВОЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Рис. 3.14. Пример вывода сетевой резолюцией по равенству (продолжение 4).

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 40