Глава 3. Математический анализ.

1. Предмет математического анализа. Множества, действительное число, абсолютная величина действительного числа. Функция. Способы задания функций.

2. Числовые последовательности, их пределы, теоремы о пределах последовательностей. Число e.

3. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно - большие и бесконечно - малые функции. Раскрытие неопределимости.

4. Замечательные пределы, непрерывность функции, Свойства функций, непрерывность в точке. Точки разрыва.

5. Производная, ее геометрический и механический смысл.

6. Производная: сложной функции, неявной функции, параметрически заданной функции.

7. Дифференциал: геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

8. Производные и дифференциалы высших порядков. Общие правила нахождения высших порядков.

9. Теоремы о среднем значении: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

11. Формула Тейлора для многочлена и для произвольной функции. Разложение основных элементарных функций.

12. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функции.

13. Экстремумы функции. Теоремы о необходимом и достаточном условии существования экстремума функции. Задачи о наибольших (наименьших) значениях функции.

14. Применение второй производной. Точки перегиба, выпуклость (вогнутость). Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости). Асимптоты.

15. Неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

16. Основные методы интегрирования. Интегрирование элементарных дробей.

17. Разложение многочлена на линейные множители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

18. Интегрирование тригонометрических выражений.

19. Интегрирование иррациональных функций. Дифференциальный бином. Подстановки Эйлера.

20. Определенный интеграл, его свойства, способы вычисления. Несобственный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.

21. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

22. Несобственные интегралы первого и второго рода.

23. Функции нескольких переменных, геометрическое истолкование функции двух переменных. Предел функции двух переменных, непрерывность. Частные производные первого и второго порядка. Полный дифференциал функции двух переменных.

24. Дифференцирование сложных функций двух переменных; дифференцирование неявных функций одной и нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

25. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Абсолютный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

26. Элементы векторного анализа. Векторная функция скалярного аргумента. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

27. Двойной интеграл, его свойства. Объем цилиндрического тела. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойных интегралов.

28. Тройной интеграл, его свойства. Масса неоднородного тела. Вычисление и применение тройных интегралов.

29. Криволинейный интеграл. Задача о работе силового поля. Вычисление криволинейных интегралов. Интегралы по замкнутому контуру.

30. Формула Грина. Условие независимости интеграла от линии интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция.

31. Криволинейные интегралы по пространственным линиям. Криволинейный интеграл по длине.

32. Интегралы по поверхности. Формула Стокса. Формула Остроградского. Интегралы по площади поверхности.

33. Векторное поле и векторные линии. Поток вектора. Дивергенция. Циркуляция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона.

34. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

35. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.

36. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

37. Особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства интегральных кривых.

38. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение степени.

39. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка методом Лагранжа.

40. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

41. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

42. Числовой ряд, его частичная сумма. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток сходящегося ряда. Свойства сходящихся рядов. Остаток сходящегося ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.

43. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости рядов с положительными членами(сравнение, Даламбера, Коши).

44. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сумме абсолютно сходящегося ряда. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана. Критерий Коши сходимости числовой последовательности и числового ряда.

45. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

46. Ряд Тейлора. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условия разложения функции в ряд Тейлора. Применение ряда Тейлора при приближенных вычислениях значений функций и интегралов.

47. Гармонические колебания. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.

48. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье.