Задание 9.

Найти пределы функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Решение.

1) .

Подставим в функцию, стоящую под пределом, вместо x значение -1. Получим:

2) .

При x=2 и знаменатель, и числитель функции f(x)= обращаются в нуль: и , откуда получаем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни числителя:

; ;

корни знаменателя:

; ;

Итак,

3) ;

Подставляя в функцию получаем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, вынесем за скобки в числителе и знаменателе многочлены наивысшей степени. Получим:

так как при - бесконечно малы.

4) .

При х=2 числитель и знаменатель функции обращается в нуль. Имеем неопределенность . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель дроби на и выполним необходимые преобразования:

5) ;

Под знаком предела при имеем неопределенность Преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать первый замечательный предел: .

6) .

Под знаком предела при имеем неопределенность . Преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать формулу . Разделим числитель и знаменатель дроби на 5х и выполним необходимые преобразования:

Ответ: 1) 0; 2) ; 3) 3; 4) 5) 6)

Задание 10.

Найдите производные заданных функций.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

Решение.

1) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; .

2) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; ;

; .

3) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; .

4) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования. Для этого представим функцию в следующем в виде:

.

Использованы формулы: ; ; .

5) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; ; ;

; .

6) .

Так как функция задана неявно, то, для нахождения производной данной функции, возьмем производную обеих частей равенства:

Использованы формулы: ; ; .

7) .

Данная функция задана параметрически. Производную функции y(x) найдем по формуле:

. Имеем, ; .

Тогда .

Использованы формулы: ; ; .

Задание 11.

Дана функция y=f(x) и значения аргумента x₁ и x_2. Требуется найти приближенное значение функции при x=x₂, исходя из ее точного значения при x=x₁, заменяя полное приращение функции ее дифференциалом:

1) ; 2)

Решение.

Приближенное значение функции в точке x=x₂ найдем, воспользовавшись формулой: , где .

1) .

Вычислим значение функции в точке x₁=2: .

Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке x₁:

Тогда

2)

Вычислим значение функции в точке x₁=0°: .

Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке x₁:

; ;

.

Итак, .

Ответ: 1) 3.67; 2) 0.0524.

Задание 12.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение.

Т.к. -дробно-рациональная функция, то область определения данной функции есть числовая прямая без точки x=4, т.е. D(y)=R\{4}. Найдем первую производную функции , используя правила дифференцирования: .

Решим уравнение и найдем критические точки:

.

Данному отрезку принадлежит только точка x=7. Найдем значение функции в этой точке:

. Сравним полученное значение со значениями функции на концах отрезка.

Имеем: ; .

Замечаем, что y(5)=18 - наибольшее значение, а y(7)=14 - наименьшее значение.

Ответ: 18 наибольшее значение; 14 наименьшее значение функции на отрезке.

СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ СЕССИОННОГО КОНТРОЛЯ
Алгебра и геометрия.
1.	Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
2.	Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителей по строке и столбцу.
3.	Матрицы. Действия над матрицами. Единичная и обратная матрицы. Транспонированная матрица.
4.	Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Ступенчатая матрица.
5.	Система линейных уравнений. Расширенная матрица. Теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса исключения неизвестных. Правило Крамера.
6.	Прямоугольная система координат. Точка, ее координаты. Координатные углы. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
7.	Линия на плоскости, ее уравнение. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.
8.	Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в отрезках.
9.	Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
10.	Кривые 2-го порядка. Окружность, ее уравнение.
11.	Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Большая и малая полуоси. Эксцентриситет и фокусы эллипса.
12.	Гипербола, ее каноническое уравнение. Вещественная и мнимая полуоси. Эксцентриситет и фокусы гиперболы.
13.	Парабола, ее каноническое уравнение. Фокус и директриса параболы.
14.	Векторы и скаляры. Модуль вектора. Компланарные вектора. Действия над векторами.
15.	Координаты точек и координаты векторов в пространстве.
16.	Скалярное произведение векторов, его свойства. Проекция вектора на ось. Угол между двумя векторами.
17.	Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь треугольника.
18.	Смешанное произведение векторов, его свойства. Объем параллелепипеда.
19.	Плоскость, ее общее уравнение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках.
20.	Взаимное расположение плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
21.	Прямая в пространстве. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости.
22.	Симметричные уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой.
	Математический анализ
1.	Понятие множества. Числовые множества. Величина (постоянная и переменная). Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
2.	Понятие функции. Область ее определения и способы ее задания.
3.	Последовательность и ее предел. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Сходящиеся последовательности.
4.	Предел функции. Ограниченная функция. Односторонние пределы функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.
5.	Основные теоремы о пределах функций. Неопределенность различных типов. Первый и второй замечательные пределы.
6.	Непрерывность функции. Точки разрыва и их род. Свойства непрерывных функций.
7.	Производная. Геометрический и физический смысл производной. Уравнения касательной и нормали.
8.	Определение производной. Теорема о дифференцируемой функции. Производные простейших функций: y=xn; y=sinx; y=cosx; y=C; y=Cx; y=tgx; y=ctgx.
9.	Производная суммы, произведения, дроби. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Таблица простейших производных.
10.	Производная неявной функции. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование.
11.	Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Правило Лопиталя.
12.	Дифференциал функции. Свойства дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.
13.	Теоремы о среднем значении: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
14.	Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
15	Формула Тейлора для многочлена и для произвольной функции. Разложение основных элементарных функций.
16.	Возрастание и убывание функций, необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции.
17.	Экстремумы функции. Теоремы о необходимом и достаточном условии существования экстремума функции.
18.	Наибольшее и наименьшее значения функции.
19.	Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости).
20.	Понятие асимптоты графика функции. Основные асимптотические формулы.

ЛИТЕРАТУРА

1. А.Ф. Бермант «Краткий курс математического анализа» для втузов. М.:Наука, 1963.

2. В.А.Кудрявцев, Б.П. Демидович «Краткий курс высшей математики», М.: Наука, 1985.

3. А.Г. Курош «Курс высшей алгебры». М., Наука, 1971 г.

4. И.И. Привалов «Аналитическая геометрия».

5. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление». М.: Наука, 1978.

6. Л. Я. Окунев «Высшая алгебра». М., Просвещение, 1966 г.

7. М. Я. Выгодский «Справочник по векторной математике». М: Наука, 1966 г.

8. Г.Н.Берман «Сборник задач по курсу математического анализа», М.: Наука, 1985.

9. В.П. Минорский «Сборник задач по высшей математике», М.: Наука, 1971.

10. Л.Я. Окунев «Сборник задач по высшей алгебре». М: Просвещение, 1964 г.

11. Д.К. Фадеев, И.С.Соминский «Сборник задач по высшей алгебре». М: Наука, 1964 г.

12. А.М. Чебан, Л.В. Черчел, Л.С. Николаева «Элементы алгебры и аналитической геометрии. Методическое пособие». Т: РИО ПГУ, 2002 г.

13. В.А. Колемаев и др. «Теория вероятностей и математическая статистика».М:ВШ,1991г

14. Х.М. Андрухаев «Сборник задач по теории вероятностей». М: Просвещение, 1985 г.

15. Б.В. Гнеденко «Курс теории вероятностей». М: Наука, 1965 г.

16. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров «Теория вероятностей». М: Наука, 1973 г.

17. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика». М: ВШ, 1974 г.

18. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике». М: ВШ, 1974 г.

19. Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика». М: ЮНИТИ, 2002г

20. Н.С. Бахвалов Численные методы. М. 1975 г.

21. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков Численные методы. М.1978 г.

22. Л.И. Турчак Основы численных методов. М.1987 г.

23. И.С.Березин, Н.П.Жидков Методы вычислений.т.1 и т.2, М. 1966 г.

24. Б.П. Демидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова Численные методы анализа. М. 1962 г.

25. В.М. Заварыкин, В.Г.Житомирский, М.П. Ланчик Численные методы. М.1990 г.