Образец выполнения контрольной работы.
Задание 1.
Даны вершины ∆АВС: А(2;5), B(14;-4), C(18;18). Требуется найти:
1) длины сторон AB и AC, их уравнения и угловые коэффициент;
2) величину угла A в градусах с точностью до двух знаков;
3) уравнение биссектрисы AK угла A;
4) точку F пересечения медиан треугольника ABC;
5) уравнение высоты CN и точку N ее пересечения со стороной AB;
6) уравнение прямой L, проходящей через вершину B параллельно стороне AC и ее точку пересечения с высотой CN;
7) координаты точки D, симметричной точке C относительно точки T и лежащей на медиане CT;
8) вычислить площадь четырехугольника ABCD.
9) сделать чертеж.
Решение.
1)Длину отрезка АВ найдем по формуле:
Так как
,
то
.
Уравнение прямой АВ найдем по формуле:
(АВ):
.
Угловой коэффициент прямой АВ равен:
.
Аналогично,
,
Угловой коэффициент прямой АС равен:
.
2) Вершину угла А рассмотрим как угол между прямыми АС и АВ.
Найдем ее по формуле:
,
где
.
Так как
,
то
Тогда
3) Уравнение биссектрисы AK
угла A найдем по формуле:
,
где
=0
и
=0
– уравнения сторон АВ и АС угла А.
Так как
и
,
то
или
или
.
Итак,
4) Точку F пересечения медиан треугольника АВС найдем, решив совместно систему уравнений любых двух медиан треугольника. Для этого найдем уравнения медиан AM и BE, проведенных из вершин А и В.
Так как АМ медиана, то точка М делит
сторону ВС пополам. Тогда координаты
точки М найдем по формуле:
.
Подставив координаты точек В и С в эти формулы, получим
.
Итак, М(16;7).
Аналогично найдем координаты точки Е, которая делит сторону АС пополам:
.
Итак, Е(10;11.5).
Воспользовавшись формулой , найдем уравнения медиан АМ и ВЕ.
Имеем,
;
.
Найдем координаты точки F, решив систему уравнений:
Итак,
5) Найдем уравнение высоты CN.
Так как
,
то
,
где
-
угловые коэффициенты прямых СN
и АВ соответственно. В общем виде
уравнение CN имеет вид:
.
Чтобы найти b, подставим
координаты точки C в
уравнение CN:
Итак, уравнение (CN):
или 4x-3y-18=0.
Координаты точки N как точку пересечения прямых AB и CN найдем, решив следующую систему уравнений:
Итак, точка N имеет координаты (6;2)
6) Т.к. прямая L параллельна
стороне АC, то
и уравнение прямой L имеет
вид:
.
Значение b найдем из того,
что L проходит через
вершину В треугольника АВС:
.
Итак, уравнение прямой L
имеет вид:
или
.
Найдем
координаты точки R
пересечения прямых L и
CN. Для этого решим следующую
систему уравнений:
.
Имеем, R(-18;-30).
7) Так как СТ–медиана треугольника АВС, то точка Т делит сторону АВ пополам, а тогда ее координаты равны:
,
следовательно, Т(8;0.5).
Так как точка D симметрична
точке С относительно точки Т, то точка
Т делит отрезок. CD пополам.
А тогда
.
Имеем,
.
Итак, D(-2;-17).
8) Найдем площадь четырехугольника
AСBD. Этот
четырехугольник есть параллелограмм.
Действительно, ∆ATC=∆BTD,
т.к. АТ=ТВ(СТ-медиана), СТ=ТD(Т-делит
отрезок пополам),
(внутренний
угол). Следовательно, АС=BD
и ACIIBD(
-как
внутренние накрест лежащие, образованные
параллельными прямыми АС и BD
и секущей АВ). Тогда площадь параллелограмма
ACBD определим как две
площади треугольника АВС. Имеем, что
.
Так как
и
,
то
.
А тогда
Определим также площадь четырехугольника ACBD, пользуясь понятием определителя, т.е. формулой:
.
Имеем,
9) Построим треугольник АВС и все прямые и точки:
Ответ:
1)
;
;
;
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
N(6;2); 6)
;
R(-18;-30);
7) D(-2;-17);
8)
.