Задание 6.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(2;1;2), В(-2;0;1), С(3;1;1), D(4;2;0). Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и в градусах с точностью до двух знаков после запятой;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) вычислить площадь грани ABC;

5) найти объем пирамиды ABCD.

Решение.

1) Если и , то вектор имеет координаты: .

Следовательно,

В системе орт эти вектора имеют вид:

; ; .

Длину вектора найдем по формуле: . Имеем , , .

2) Если и и -угол между этими векторами, то этот угол можно определить по формуле: .

Тогда

Получаем

3) Проекцию вектора на вектор найдем по формуле: , где -скалярное произведение векторов и . Так как , , то . А тогда .

4) Площадь грани АВС найдем по формуле:

,

где , . Имеем , . Тогда:

5) Из школьного курса известно, что , тогда

.

С другой стороны , где , , .

Имеем, , , , , , .

Тогда

Ответ: 1) ; ; ; ; ; ;

2) ; 3) ; 4) ; 5)

Задание 7.

Даны координаты точек A(6;2;8), B(10;4;4), C(7;1;4).

Требуется:

1) составить канонические уравнения прямой AB;

2) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку C перпендикулярно прямой AB;

3) найти точку пересечения прямой AB с плоскостью Q;

4) вычислить расстояние от точки C до прямой AB;

5) найти точку D, симметричную точке С относительно прямой АВ.

Решение.

1)Прямая, проходящая через две точки и пространства, может быть представлена каноническими уравнениями: .

Так как А(6;2;8) и В(10;4;4), то или .

Итак,

2) Направляющий вектор прямой АВ имеет вид: . Известно, что если прямая

перпендикулярна плоскости , то . Так как плоскость Q проходит через точку С, то ее уравнение можно найти, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку :

.

Тогда . Так как , то и, следовательно, уравнение плоскости Q примет вид: или

.

3) Запишем уравнение прямой АВ в параметрическом виде. Пусть -параметр, тогда . Подставим выражения для x, y, z в уравнение плоскости и найдем значение параметра t, зная который определим координаты точки Kпересечения прямой AB с плоскостью .

Имеем: .

Тогда точка K имеет координаты (8;3;6).

4) Так как прямая АВ перпендикулярна плоскости , которая проходит через точку С, то расстояние от точки С до прямой АВ найдем как расстояние между точками С и K по формуле:

5) Так как точка D симметрична точке С относительно прямой АВ, то прямая АВ перпендикулярна прямой CD, а, следовательно, CK=DK, т.е. точка K делит отрезок CD пополам. А тогда ; ; .

Откуда ; ; . Итак, точка D имеет координаты ; ; или D(9;5;8).

Ответ: 1) ; 2) ; 3) K(8;3;6); 4) D(9;5;8).

Задание 8.

Прямая линия задана в виде пересечения двух плоскостей. Написать канонические уравнения этой прямой и найти точку P, симметричную точке N(2;-1;4) относительно этой прямой.

Решение.

Чтобы найти канонические уравнения прямой, необходимо знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой прямой, и координаты направляющего вектора этой прямой.

Прямая задана в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными x, y, z. Такая система имеет бесконечное множество решений. Найдем одно из них. Придадим одной из переменных определенное значение, например, z=0. Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y. Решим ее:

Таким образом, одна из точек прямой имеет координаты (1;2;0). Координаты направляющего вектора определим как координаты вектора, представляющего собой векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей: и

Итак, направляющий вектор данной прямой имеет координаты: (19;26;1).

Каноническое уравнение прямой L можно записать в виде:

, где -координаты точки, принадлежащей данной прямой и - направляющий вектор этой прямой.

Следовательно, прямая имеет вид:

Найдем координаты точки P симметричной точке N относительно прямой L. Точка T лежит на прямой L и делит отрезок PN пополам. Тогда координаты точки P найдем по формулам: . (1)

Прямая TN перпендикулярна прямой L, следовательно, их направляющие вектора и также перпендикулярны. А это означает, что , т.е. или . (2)

Так как точка T принадлежит прямой L, то ее координаты, подставленные в уравнение прямой L, обращают его в верное тождество: Пусть эти отношения равны некоторому параметру t, тогда .

Подставим выражения для x, y, z в уравнение (2), получим

Итак, T имеет координаты: . .

Из формулы (1) следует, что координаты точки P вычислим по формуле:

. Имеем, . Тогда .

Ответ: ; .