Задание 2.
Даны точки плоскости A(-4;-4), B(-3;3), C(4;2).Требуется:
1) составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности;
2) написать уравнение эллипса, проходящего через точки B и C, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет;
3) построить точки и кривые в системе координат.
Решение.
1) Пусть
точки А, В, С лежат на одной окружности,
центр которой находится в точке
.
Тогда они расположены на одном расстоянии
от центра окружности, т.е. AN=BN=CN=R.
Определим эти величины, как расстояние
между двумя точками по формуле:
.
Имеем,
Решим следующую систему уравнений:
Следовательно, центр окружности имеет координаты: N(0;-1). Радиус определим, подставив координаты точки N в любое из вычисленных расстояний, например, AN=R:
.
Таким образом,
окружность радиуса R=5 с
центром в точке N(0;-1) и
проходящая через точки А, В, С имеет вид:
или
(воспользовались
формулой
).
2)
Каноническое уравнение эллипса имеет
вид:
,
где
и
-полуоси
эллипса.
Так как точки В и С принадлежат эллипсу, то:
Уравнение
эллипса примет вид:
или
.
Полуоси
эллипса:
,
.
Фокусы эллипса
имеют координаты:
,
где с-расстояние от центра эллипса,
расположенного в начале координат
(0;0), до фокуса; эта величина равна
.
Итак,
,
а тогда
Эксцентриситет
эллипса найдем по формуле:
.
Имеем,
.
Замечаем, что
,
это говорит о том, что рассматриваемая
нами кривая второго порядка является
эллипс.
3) Построим окружность и эллипс на одной системе координат:
Ответ: 1) -уравнение окружности с центром N(0;-1) и радиуса R=5;
2)
-уравнение
эллипса; полуоси эллипса:
;
;
-фокусы
эллипса;
-эксцентриситет
эллипса.
Задание 3.
Решить систему линейных уравнений с помощью определителей:
.
Решение.
Найдем определитель системы уравнений составленный из коэффициентов при неизвестных:
.
Так как
,
то система уравнений имеет единственное
решение.
Найдем определитель
,
который получим из
путем замены столбца при переменной x
столбцом свободных членов:
.
Аналогично найдем определители
и
.
;
.
Используя правило Крамера, найдем решение системы уравнений:
Проверка.
Итак, решение системы
Ответ:
Задание 4.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение.
Рассмотрим расширенную матрицу системы уравнений:
.
Используя элементарные преобразования, приведем матрицу к ступенчатому виду:
|
от последней матрицы перейдем к системе уравнений:
Проверка.
Итак, решение системы
.
Ответ : .
Задание 5.
Представить систему линейных уравнений в матричной форме и решить систему с помощью обратной матрицы; пользуясь правилом умножения матриц, показать, что произведение матрицы системы на обратную ей матрицу равно единичной матрице E:
Решение.
Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме: AX=B, где
;
;
.
Для решения системы воспользуемся
следующей формулой:
Найдем определитель матрицы А:
Так как
,
то существует обратная матрица
,
и, следовательно, система линейных
уравнений имеет единственное решение.
Найдем обратную матрицу по формуле:
,
где
-
определитель матрицы A,
Ai j-алгебраические дополнения для элементов aij матрицы A
Найдем алгебраические дополнения:
A
=
=2-1=1;
A
=
=-(4(-3))=-1;
A
=
=-4+6=2;
A
=
-(-1-0)=1;
A
=
=-2-0=-2;
A
=
=-(2-3)=1;
A
=
=1-
0=1; A
=
=-(2-0)=-2;
A
=
=-4+4=0.
Обратная матрица имеет вид:
.
Сделаем проверку:
Найдем решение системы уравнений:
.
Ответ: (-2;1;3).