Равномерная сходимость ряда

Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда

на отрезке . При каких  абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит   ?

Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся на отрезке , если для любого как угодно малого  найдется такой номер , что при всех  будет выполняться неравенство для любого  из отрезка .

1. Т.к. , то имеем знакочередующийся ряд. Для знакочередующегося ряда остаток  ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому

.

2. На отрезке имеем .

3. Решая неравенство , находим такой номер , что при всех  будет выполняться неравенство

.

13. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке . При каких  абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0.1  ?

.

Решение:

Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если для всякого  можно найти такой номер , что при  и любом  модуль остатка ряда . Остаток знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому на отрезке

откуда , значит, .

Т.е. для и   и при любых     .

Признак Вейерштрасса: Если при и числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится на отрезке абсолютно и равномерно.

14. Доказать, что функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно для .

Решение: Воспользуемся тем, что . Запишем для знаменателя .

Тогда по признаку Вейерштрасса .

Ряд сходится как гармонический с . Значит, исходный ряд сходится абсолютно и равномерно.

15. Найти сумму ряда .

. Найдём сумму этого ряда почленным дифференцированием: Теперь остаётся проинтегрировать это выражение:

Окончательно, .

Ряд Тейлора

Если функция в некоторой окрестности точки допускает разложение в степенной ряд по степеням , то этот ряд называется рядом Тейлора. - значение производной к - го порядка в точке . При ряд Тейлора принято называть рядом Маклорена. Формула справедлива, если при остаточный член ряда Тейлора при .

Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой Лагранжа:

, где .

Необходимо помнить следующие пять основных разложений (в скобках указана область сходимости ряда):

• 

• 

• 

• 

• .

16. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

Представим функцию в виде .

Воспользуемся готовым разложением

Заменим на , .

Получим

17. Разложить функцию в ряд по степеням .

Решение: . Находим производные данной функции: , .

Далее , и т.д. Вообще если - чётное , а если - нечётное, то

.

Подставляя в формулу Тейлора, имеем: .

Для определения области сходимости применим признак Даламбера. Имеем:

для любых . Значит, .

Остаточный член по формуле Лагранжа для нечётных : ; для чётных

: .

Т.к. , то , и поэтому

. Ряд с общим членом сходится при любом , поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости .