2. Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с рядом . Т.к. при любых значениях  выполняется неравенство

,

то из расходимости ряда  будет следовать расходимость исследуемого ряда. Ряд  расходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, расходится и исследуемый ряд.

Второй (предельный) признак сравнения Исследовать сходимость ряда с положительными членами .

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится.

2. Проверяем, что  для всех .

3. Делаем вывод о сходимости или расходимости ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения:

Пусть даны два ряда  и , причем существует номер  такой, что при всех    и . Если существует конечный и отличный от нуля предел ,

то ряды  и  либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.

В качестве эталонного ряда  обычно используют либо обобщенный гармонический ряд , который сходится при  и расходится при , либо геометрический ряд , который сходится при  и расходится при .

Примеры решения задач:

Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с рядом . По предельному признаку сравнения: .

Ряд  сходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, сходится и исследуемый ряд.

Признак Даламбера

Исследовать сходимость ряда с положительными членами ,

Где  содержит произведения многих сомножителей (например, степени и факториалы).

Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами . Если существует предел

, то при  ряд сходится, а при  расходится. Если , то признак Даламбера ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

2. Проверяем, что  для всех .

3. Вычисляем предел

.

4. Применяем признак Даламбера и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Замечание. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить признак Даламбера к упрощенному ряду.

Примеры решения задач:

Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с рядом . Используем предельный признак сравнения: .

Воспользуемся признаком Даламбера: .

Ряд  сходится. Значит, сходится и исследуемый ряд.

Радикальный признак Коши

Исследовать сходимость ряда с положительными членами и  существует и легко вычисляется.

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд с положительными членами .

Если существует предел

,

то при  ряд сходится, при  – расходится. Если , то признак Коши ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

2. Проверяем, что  для всех .

3. Вычисляем предел .

4. Применяем радикальный признак Коши и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Замечание 1. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить радикальный признак Коши к упрощенному ряду.

Замечание 2. Полезно иметь в виду, что , , ( ).

Примеры решения задач:

Исследовать на сходимость ряд .

Воспользуемся радикальным признаком Коши: .

Т.е. исследуемый ряд сходится.