4. Выбрать оптимизирующие факторы.

Оптимизирующие факторы это входы системы, которые относятся к управляющим параметрам и которые используются для регулирования процесса.

Необходимым условием оптимизации является наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта, т.е. объект должен иметь управляющие воздействия, которые позволяют изменить его состояние.

Число оптимизирующих факторов зависит от стадии разработки производства. Обычно на стадии проектирования находятся оптимальные значения максимального числа факторов. В случае оптимизации действующего производства число оптимизирующих факторов существенно меньше.

5. Записать целевую функцию.

При постановке конкретных задач оптимизации целевая функция должна быть записана в виде аналитического выражения. В случае, когда случайные возмущения невелики, целевая функция может быть представлена как функция входных и выходных параметров:

Поскольку , то при фиксированных :

Если случайные возмущения велики и их необходимо учитывать, то следует применять экспериментально- статистические методы, которые позволяют получить модель объекта в виде функции:

Эта функция будет справедлива только для изученной локальной области. Тогда критерий оптимальности запишется:

По физическому смыслу целевая функция это критерий оптимальности, записанный в виде функции параметров, влияющих на его значение. Поэтому с математической точки зрения задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (max или min) целевой функции. При этом в точке экстремума должны соблюдаться все ограничения.

Поскольку, в общем случае, управляющие воздействия имеют различный физический смысл, а при решении задач оптимизации численными методами целесообразно оперировать с безразмерными значениями параметров, то для их нормализации применяются возможный диапазон изменения значения переменных, который всегда может быть установлен исходя из физической сущности решаемой задачи. Нормализация значительно упрощает организацию алгоритмов оптимизации и позволяет строить унифицированы алгоритмы поиска

Например,

.

Тогда

.

В этом случае

Обратный пересчет

.

6. Выбрать метод оптимизации.

Все методы нахождения экстремумов целевой функции можно разделить на три основные группы:

Аналитические. Применяют к задачам, для которых целевая функция выражена аналитически и дифференцируема во всем диапазоне исследования, а число переменных невелико. Экстремум находится из условия равенства нулю производных функции. Составляется система из уравнений

Численные. Для применения этих методов нужно, чтобы целевая функция была вычислимой, т.е. должен быть известен алгоритм, по которому можно рассчитать значение критерия оптимальности при заданных значениях факторов.

Экспериментальная оптимизация. Применяется, если целевая функция не вычислима. Это означает, что вид функции не известен. В этом случае район оптима ищется с помощью проведения планового эксперимента.

Аналитический метод оптимизации

Применяют к задачам, для которых целевая функция выражена аналитически и дифференцируема во всем диапазоне исследования. Экстремум находится из условия равенства нулю производных функции.

Пусть целевая функция задана формулой R=f(u₁, u₂,…u_n). Классический метод отыскания экстремума заключается в решении системы

Левые части уравнений (24.1) — функции от факторов u₁, u₂,…u_n. Поэтому решение системы может дать величины u_1опт, u_2опт,…u_nопт, являющиеся оптимальными значениями факторов; их совокупность определяет оптимальное решение задачи. Если оптимизируется технологический процесс, то этому решению соответствует оптимальный режим.

Однако в том, что полученные значения действительно оптимальны, нужно убедиться. Необходимо выяснить четыре обстоятельства.

1. Действительно ли решение системы (24.1) определяет экстремум: известно, что условию (24.1) может удовлетворять и седловая точка или точка перегиба.

2. Получен ли экстремум нужного знака (максимум, если нас интересует максимум, или минимум в обратном случае).

3. Если система имеет несколько решений, то какое из них отвечает глобальному оптимуму, а какие — локальным. Так, если зависимость имеет несколько максимумов, то глобальным будет тот из них, который выше всех остальных; остальные будут локальными.

4. Все ли ограничения соблюдаются в точке экстремума.