8. Продольные и поперечные деформации бруса при растяжении (сжатии). Коэффициент Пуассона. Перемещения и их эпюры.

Если на участке и переменны (рис. 2.8 б), то полное удлинение участка получим, суммируя удлинения бесконечно малых участков dz:

.

Растяжение (сжатие) сопровождается изменением поперечных размеров (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Абсолютная поперечная деформация определяется как разность размеров после деформации и до нее:

; .

Относительная поперечная деформация для изотропных материалов по всем направлениям одинакова:

.

Между поперечной и продольной относительными деформациями, которые всегда противоположны по знаку, в пределах закона Гука существует постоянное отношение:

или , (2.23)

где – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) – безразмерная величина, упругая постоянная материала, определяемая экспериментально. Для всех изотропных материалов = 0  0,5. Для пробки 0; для каучука  0,5; для стали  0,3.

Перемещения. Эпюра перемещений. Условие жесткости

При растяжении (сжатии) поперечные сечения стержня перемещаются в продольном направлении; перемещения поперечных сечений – это следствие деформации. Перемещение сечения зависит от деформации не всего бруса, а лишь части между сечением и неподвижной заделкой. Например, перемещение сечения равно деформации заштрихованной части стержня: ,

где – деформация участка АВ равная перемещению сечения В;

– деформация участка ВС определяется по формулам .

можно сформулировать следующие положения:

1. На участке, где , перемещение – меняется по линейному закону;

2. На участке, где – линейна, перемещение – меняется по квадратичной параболе;

3. Если , то перемещение возрастает; , то перемещение убывает;

4. В сечении, где = =0, перемещение имеет экстремальное значение: (максимум или минимум).

9. Статически неопределимые задачи при растяжении-сжатии, методы их решений.

В практике статически неопределимые задачи находят широкое применение.

Система, в которой для определения внутренних усилий недостаточно уравнений равновесия называется статические неопределимой.

Для решения данной задачи необходимо применение дополнительных уравнений, которые можно записать, рассмотрев деформированное состояние системы. Дополнительные уравнения представляют собой уравнения совместности деформаций (или кратко называются деформационными).

Расчет статически неопределимой системы рассмотрим на примере статически неопределимого ступенчатого бруса.

Степень статической неопределимости :

S=R-n

R – количество связей

n – количество возможных уравнений

1. Сумма Р_кz=0

2. ∆l₁+∆ l₂+∆ l₃=0 – дополнительное уравнение неразрывности деформации

10. Опытное изучение свойств материалов при растяжении и сжатии. Диаграммы растяжения и сжатия малоуглеродистой стали. Основные механические характеристики и характеристики пластичности материалов: предел пропорциональности, упругости, текучести, временное сопротивление (предел прочности), относительное удлинение и сужение площади поперечного сечения. Истинная и условная диаграммы растяжения. Условный предел текучести. Диаграммы сжатия хрупких и пластичных материалов. Анизотропные материалы. Эффект наклепа (Баушингера).

При проектировании и расчетах на прочность и жесткость необходимо знать свойства материалов, сведения о которых можно получить путем механических испытаний на растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

Испытание на растяжение проводят на специальных разрывных или универсальных машинах, создающих постепенно возрастающую нагрузку на образец. Машины снабжены устройством для автоматической записи диаграммы растяжений, т. е. графика зависимости между растягивающей силой и удлинением образца .

Рассмотрим характерные участки и точки этой диаграммы, а также соответствующие им стадии деформирования образца.

Рис. 2.27

OB – выполняется прямая пропорциональная зависимость между нагрузкой и абсолютной деформацией (только упругой)

Выполняется закон Гука.

,

где E (МПа) – физическая константа материала, называемая модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода, характеризующая жесткость материала. Значения модуля упругости зависят от типа кристаллической решетки и межатомного взаимодействия и определяются экспериментально.

P_пц – нагрузка, соответствующая пределу пропорциональности.

ВС – нарушение пропорциональной зависимости (деформации еще упругие)

CD – появление пластической деформации.

DE – площадка текучести(рост деформации без увеличения нагрузки, параллельно оси). Наличие площадки текучести связано с развитием сдвигов в кристаллической решетке.

EH – зона упрочнения (явление наклепа)

HL – зона образования шейки

P_y – нагрузка, соответствующая пределу упругости

P_T – предел текучести

P_max – максимальная нагрузка, соответствующая условному пределу прочности

P_u – нагрузка, соответствующая истинному напряжению в точки разрыва.

Прямая пропорциональная зависимость между напряжением и деформацией сохраняется до напряжений, соответствующих пределу пропорциональности , который определяется делением соответствующей нагрузки на начальную площадь образца :

P_пц – нагрузка, соответствующая пределу пропорциональности.

A=F – площадь

Предел пропорциональности – максимальное напряжение, выше которого нарушается прямая пропорциональная зависимость между напряжением и деформацией.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости. Под пределом упругости понимается такое наибольшее напряжение, до которого в образце еще отсутствуют пластические деформации.

. (2.44)

P_y – нагрузка, соответствующая пределу упругости

A=F – площадь

Пределом упругости – максимальное напряжение, до которого нет пластической деформации.

Пределом текучести.

. (2.45)

P_T – предел текучести

A=F – площадь

Предел текучести – после достижения предела текучести появляется интенсивная пластическая деформация.

Предел временного сопротивления (предела прочности)

. (2.46)

Pmax – максимальная нагрузка, соответствующая условному пределу прочности

A=F – площадь

Временным сопротивлением – максимальное напряжение, которое выдерживает материал без разрушения. Условный – так как делим на начальную площадь.

характеристиками пластичности материала.

1 Относительным остаточным удлинением

(относительная продольная деформация) = … (после испытания)

У пластичных материалов больше 5 процентов.

2 Относительное остаточное сужение образца

, (2.48)

= (со штрихом – относительная поперечная деформация.)

где – площадь поперечного сечения образца в месте разрыва (Площадь шейки после испытаний – из лекции).

Чем больше эти две буквы, тем материал пластичнее.

Пластичность – свойство тел изменять форму и размеры под влиянием внешних нагрузок и сохранять её после снятия нагрузок.

Истинная и условная диаграммы растяжения: Диаграмма растяжения зависит от размеров образца. Для оценки свойств материала эту диаграмму перестраивают в координатах «напряжение – деформация»; все ординаты делят на первоначальную площадь , а все абсциссы – на первоначальную рабочую длину . В результате получают диаграмму напряжений (рис. 2.29), которая является условной, т. к. при ее построении не учитывается изменение значений площади сечения в процессе испытания. Поэтому найденные ранее характеристики прочности являются условными.

Рис. 2.29

Диаграмма напряжений, построенная с учетом деления силы на наименьшую площадь – истинных напряжений (на рис. 2.29 она показана пунктиром). Напряжение, соответствующее точке , называют истинным сопротивлением разрыву (истинным пределом прочности)

Условный предел текучести:

Если на графике есть DE, то материал точно пластичен.

Для материалов, у которых нет выраженной площадки текучести, но присутствует пластическая деформация, определяют условный предел текучести.

1. Посторим на оси 0.2

2. Проведем касательную к первому участку

3. Прведем линию, паралельную касательной от 0,2 до пересечения с графиком

4. Сносим на оси