то

Вопрос № 1

Матрицы и операции над ними. Свойства операций.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел состоящих из M столбцов и N строк.

Квадратная матрица- (NxN)

Матрица состоящая из одного столбца наз-ся матрицей столбцом, из одной строки соответственно. У матриц столбца и строки существует называние – ВЕКТОР.

Нулевой матрицей называется матрица у которой все элементы равны нулю .

Линейные операции

Это операции сложения вычитания, умножения на число.

Сложение

Суммой матриц А и Б размерности (мхн) называется матрицы С размерности (мхн), каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов элементов матриц А и Б.

Разность

Разностью матриц А иБ размерности… называется матрица С размерности (мхн) каждый элемент которой представляет собой разность соответсвующих элементов матриц А иБ.

ЗАМЕЧАНИЕ: Операции сложения и вычитания можно производить с матрицами олной размерностию.

Умножение

Произведение матрицы А размености мхн на число альфа называется матрица С разме мхн полученная умножением каждого элемента на альфа.

Свойства операций

Если матрицы А Б С имеют одну размерность то для них справливы свойства

А+б=б+а коммуникативность

(а+б)+с=а+(б+с) ассоциативности

1*А=А существование единого элемента

0+а=а

А*0=0если существуют действит числа альфа и бэта

Альфа(бэта*А)=(альфа*бэта*А)

(Альфа+бэта) А=альфа* А + бэта*А

Альфа(а+б)=альфа*а+альфа*б

А и (-б): а-б=а+(-б) где –б=-1*б

ЗАМЕЧАНИЕ разность двух матриц А и Б мхн можем представить в виде суммы матриц.

Умножение матриц

Произведение матриц А мхн на матрицу Б нхк называется матрица С=а*б=Сpt размерности мхк где Сpt сумма Apz*Bzt=ap1b1t+ap2b2t…. Apn*bnt

Элемент Cpt получен из матрицы С суммой произведений элеметнов строки матрицы А на соответствующие элементы столца матрицы Б.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если матрица А перемножается на матрицу Б то не обязательно матрица Б будет умножаться на матрицу А

В общем случае АБнеравноБА Если АБ=БА то говорят что матрицы А и Б обладают св-м коммутативности.

Сво-ва умножения матриц:

А(б+с)=АБ+АС

(Б+С)А=БА+СА

(АБ)С=А(БС)

Альфа (АБ) =(альфа*А)*Б=А(альфа*Б) где альфа любое деств число

Квадратная матрица Е размерности мхн называется единичной если все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0.

Вопрос №2

Результатом транспонирования матрицы А мхн является матрица АТ размерности НхМ каждый элемент которой получается заментой элементов строки на соответсвующие элементы столбца.

Свойства транспон матрицы

А=(АТ)Т

(А+Б)Т=АТ+БТ

(АБ)Т+АТ*БТ

(лямбда*А)Т=лямбдаАТ где лямбда есть константа

Определители матрицы

Определитель матрицы второго порядка называется число которое определяется следующим образом |A|=detA= a11*a22-a12*a21

Свойства определителя матрицы второго порядка

1) |A|=|AT| определитель транспонираванной матрицы равен определителю исходной матрицы

2) Если в определитель матрицы А поменять местами какие-либо строки или столбцы то знак определитля меняется на противоположный.

3)Общий множитель какой-либо строки(столбца) можно выносить за пределы определителя.

4)если в определителе какие-либо 2 строки/столбца равны между собой то определитель такой матрицы равен нулю

5) если какая-либо строка/столбец равна нулю то определитель матрицы равен нулю.

ЗАМЕЧАНИЕ: элементы диагонали квадратной матрицы начинающиеся в левом верхнем углу и идут в правый нижний – элементы главной диагонали. Другие- побочные.

6) если к элементам какой-либо строки/столбца прибавить соотвествующие элементы какой-то другой строки/столбюца то определитель не изменяется

7)Если какая-либо строка/столбец составлен из суммы 2х или нескольких элементов то такой определитель можно составить как сумму двух или нескольких определителей каждый элемент которго не изменен, кроме данной строки/столбца. Первый элемент строки/столбца нах-ся в первом определителе, второй элемент строки/столбца нах-ся во втором определителе

Определитель 3го порядка

Это число которое вычисляется следующим способом

Вычисление определителя матрицы А разложением элеменом по первой строке.

Минором соответсвующего элемента матрицы А 3го порядка называется определитель второго порядка полученный путем вычеркивания i-ой строки j-го столбца

!!!Значит определитель матрицы А 3го порядка модно переписать следующим образом

|A|=a11*M11-a12*M12+a13*M13

Алгеброическое дополнение А элемента а определителя 3го порядка называется его минор M взятый со занком + если и+жи четное и наоборот.

Обратная матрица

Матрица А в -1 называется обратной если произведение обратной матрицы на исходную дает единичную матрицу Е тю.е А в -1*а=Е

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу небходимо и достаточно чтобы матрица А была не вырожденной.

А в-1= 1/|A|*(A*)T

Вопрос №3

Системой уравнений называется совокупность n уравнений (n>=2), для которых необходимо найти неизвестные, удовлетворяющие всем уравнениям.

Системой линейных уравнений с n неизвестными x1, x2,… xn называется система вида:

a11x1+a12x2…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2…+a2nxn=b2

an1x1+an2x2…+annxn=bn

Матричный вид системы:

AX=B, где A-матрица размерности(m x n), составленная из коэффициентов, B-матрица-столбец, составленная из свободных слагаемых, X-матрица-столбец, составленная из неизвестных.

Метод Крамера на листке!

В элементарные преобразования уравнений включаются: перестановка строк и столбцов местами, умножение любой строки на какое-либо число, сложение строк (столбцов) друг с другом.

Метод Гаусса для произвольных систем заключается в последовательном исключении неизвестных по определенной схеме. Выписывают расширенную матрицу, затем,

С помощью элементарных преобразований приводят матрицу к трапецеидальному виду.

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков её миноров, не равных 0. Ранг матрицы А, имеющей порядок r называется базисным. Ранг матрицы А обозначается как r(A)=rang(A).

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы СЛУ AX=B была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы. При этом, если ранг осн. Матрицы=ранг расшир. Матрицы=n (n-количество неизвестных, то система определённая, если система совместная (Ранг осн.м.=ранг расшир.м.<n), то система неопределенная.

Для того чтобы СЛУ имела не нулевые решения необоходимо и достаточно чтобы ранг матрицы был меньше чем n

Если ранг равен количеству неизвестных то из т Кронекера капели следует что система имеет одно решение

Вопрос №4

Однородные системны ЛУ

Если свободные слагаемые СЛУ b1 b2 bn равны нулю то такая система называется однородная

Тетрадь еба

Вопрос №5

Пространство арифметических векторов -множество арифмитических векторов для которых определены операции сложения умножения на число.

Линейные операции над векторами

Суммой вектора а и б называется вектор с начало которого совпадает с началом вектора а, а конец совпадает с концом вектора б при условии что б выходит из конца вектора а.

Сумма можно вычислять по правилам: треугольника и ПА.

Разность векторов а и б называется вектор д такой что при сложении с веткором б дает вектор а, т.е. д=а-б, если д+б=а

Разность векторов а и б можно представить в виде суммы векторов а и (-б) т.е. а-б=а+(-б)=д

Умножение вектора а на число аольфа называется вектор б=альфа*а при этом длина вектор б = альфа * длина а. Направление вектора б зависит от альфа. Если альфа больше нуля то а и б сонаправленные и наоброт.

Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов а1,а2…аn называется вектор а представленный в виде а= альфа1*а1+альфа2*а2…

Если нам даны векторы а б с компланарные то вектор с мы можем представить в виде суммы векторов а и б т е с=а+б

Векторы а1,а2 называется линейно завысимыми если существуют числа альфа…. Из которыхз хотя бы одно отлично от нуля такие что альфа1*а1+альфа2*а2…..=0

Векторы а1 а2…. N>1 линенйно зависимы когда по крайней мере один из них является линейной комбинацуией остальных.

Два вектора а и б линейно зависимы когда они колинеарны

Если векторы е1 и е2 неколинеарны в некоторй плоскости то третий вектор а из той же плостости можно представить едиснтвенным образом а=хе1+уе2

Для того чтобы 3 вектора а б с были линейно независимыми чтобы они были некомпланарные

Три упорядоченных линейно независимых вектора называется базисом

Любой вектор а может быть разложен по базису е1 е2 е3 это значит что а= хе1+уе2+ze3 (xyz)-координаты вектора а

Гооврят что вектор а разложен по базису.

Базис называется орнормированным если координаты вектора взаимно перпендикулярны

Вопрос №6

Вектор- направленный отрезок. Нулевой вектор это вектор у котрого начало и конец совпадает. Модуль вектора-это расстояние между началом и концом вектора.

Скалярное произведение векторов - число, полученное след. Образом:

(a,b)=а*b*cosx (x-угол между a и b)

Если вектор a скалярно умножен сам на себя, то (a,a) * cos 0= a

Если векторы a и b перпендикулярны, то (a,b) = a*b*cos п/2=0

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c, обозначается c=a x b, если выполняются условия:

1. c=a * b * sin g, где g – угол между a и b.

2. A перпендикулярен c, b перпендикулярен c.

3. A, b, c образуют правую тройку

4. Вектор c дает нам площадь параллелограмма, построенного на векторах a и d.

Свойства векторного произведения:

1. a x a=0

2. Антикоммунитативность

A x b = -b x a

3) Сочетательность

4) (a+b) x c=a x c+b x c

Смешанное произведенгие векторов а б с называется число (ахб),с равное сколярному произведению векторов (ахб) и вектора с.

Свойства смешанного произведения:

1) (ахб,с)=(бхс,а)=(сха,б)=-(бха,с)=-(съб,а)=-(ахс,б)

2) (ах(б+д),с)=(ахб,с)+(ахб,с)

(ахб,с+д)=(ахб,с)+(ахб,д)

3) (альфа*ах б,с)=(ахальфа*б,с)=(ахб,альфа*с)=альфа(ахб,с) где альфа константа

УТВЕРЖДЕНИЕ: Небохдимым и достаточным условием кмопланарности векторов а б и с явлется равенство 0 их смешанного произведения.

2 вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

3 вектора называются компланарными, если они находятся в одной или в параллельных плоскостях. Смешанное произведение компланарных векторов равно 0.

2 вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно 0.

Бзаис в трезмерном простанстве

Три вектора ,  , называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R3 называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Если   - базис в R3, то любой другой вектор, например  , единственным образом разлагается по этому базису

где числа da, db, dc находятся единственным образом и называются координатами вектора   в базисе 

Базис   называется прямоугольным (ортогональным), если векторы   попарно перпендикулярны. Если они к тому же имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным.

В пространстве R3 обычно используют прямоугольную декартову систему координат Оxyz, где любая точка М пространства, имеющая координаты х (абсциссу), y (ординату) и z (аппликату), обозначается М(x, y, z).

Свободный вектор, например  , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Здесь xd, yd, zd - проекции вектора   на соответствующие оси координат (координаты вектора),  - орты этих осей.

Пишут 

Длина вектора определяется по формуле

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) вычисляются по формулам:

Координаты вектора будут равны

Подставив эти выражения в формулу вычисления длины вектора, установим, что направляющие косинусы вектора связаны соотношением

Операции в координатной форме

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-operatsii-nad-vektorami-v-koordinatnoi-forme

Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е.  .

Таким образом,   и  .

 Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть  ,  ,  . Тогда:

1)  ;

2)  .

   Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторногопроизведения:

 

.

   Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

                   .

Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:

                      

                                            рис.4.

,  ,  .

Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.

Отсюда следует: 

, ч.т.д.

2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

         .

Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Векторное произведение часто записывают в форме определителя:

                           .

Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторногопроизведения. Она компактна и удобна для запоминания.

Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

   Доказательство. С одной стороны,

                   .

С другой стороны,

                   .

Но,  , откуда и следует утверждение. Далее, т.к.  , то

                .

Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойство справедливо и для столбцов определителя.

Следствие доказано.

Вопрос №7

10.1. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние - R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять по­ложение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положе­ние линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты  x и у  каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные x и у в уравнении линии называются текущими коорди­натами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(x₀; у₀) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных урав­нениями F₁(x₁;y₁) = 0 и F₂(x₂;y} = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

 (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол  , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение   называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение   является уравнением прямой, которая проходит через точку   ( ,  ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки  ( ,  ),  ( ,  ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки  ( ,  ) и  ( ,  ).

Если известны угловые коэффициенты   и   двух прямых, то один из углов   между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

, или  .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).  I. Две прямые, параллельные третьей* параллельны.  II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны  III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.  IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. 

Перпендиуклярность

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.

т М (х₀;у₀).

Уравнение прямой записывается в виде .

Подставим в это уравнение точку М

Решим систему:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

К (х₁;у₁) М (х₂;у₂)

Уравнение прямой в отрезках.

К (а;0); М (0;b)

Подставим точки в уравнение прямой:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному

вектору.

М₀ (х₀;у₀).

Возьмем произвольную точку М (х;у).

Т.к. , то

Вопрос №8

Эллипс-множество точек плоскости, сумма расстояния от которых до двух данных точек в плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная.

Точки пересечние эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Из симметрии эллипса следует что кроме вершин А(а,0) и Б(0,б) эллипс имеет еще 2 вершины А1(-а,0) и Б1(0,-б) отрезки А А1 и Б Б1 соденяющие противоположные врешины эллипса а также их длины 2 а и 2 б называются называеются соотвественно большой и малой осями эллипса. Числа а и б называет большой и малой полуосями элиипса.

Отношении фокального расстояния к длине большой оси называется экцентриситетом эллипса и обозначает эпсилон.

Гипербола-множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная.

Отношение фокального расстояния к длине действительной оси называется экцентриситетом пораболы. Действительной осью называет отрезок 2а, который соеденияет вершины гиперболы. Числа а и б называются действительной и мнимой полуюсями гиперболы.

Парабола-множество всех точек плоскости равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

   Эксцентриситет: 

Отношение фокального радиуса к хз чему

Вывод кононического уравнения:

Эллипс x^2/a^2+y^2/b^2=1

Гипербола x^2/a^2-Y^2/b^2=1

Парабола y^2=px p-директриса

Выводы на листке.

Вопрос №9

Пересечение 2ух не компланарных плоскостей образуют прямую в пространстве.

Прямая в пространстве вполне определяется заданием фиксированной точки м и направляющим веткором