Класичне визначення ймовiрностi

Ймовiрнiстю P(A) подiї A називається спiввiдношення m числа елементарних подiй, що сприяють подiї A, до числа N всіх елементарних подiй, Тобто

З наведеного класичного визначення ймовiрностi випливають наступнi її властивостi.

Iмовiрнiсть достовiрної подiї дорiвнює одиницi.

Дiйсно, достовiрнiй подiї повиннi сприяти всi N елементарних

подiй, тобто m = N i, отже,

Iмовiрнiсть неможливо¨ı подi¨ı дорiвнює нулю.

Справдi, неможливiй подi¨ı не може сприяти жодна з елементарних подiй, тобто m = 0, звiдки,

Ймовiрнiстю випадкової подiї є позитивне число мiж нулем та одиницею.

Дiйсно, випадковiй подiї сприяє лише частина iз загальногочисла елементарних подiй. Тому в цьому випадку 0 < m < N, значить, , Отже, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Тому, ймовiрнiсть будь-якої подiї задовольняє подвiйну нерiвнiсть.

З визначення ймовiрностi випливає, що елементарнi подiї є рiвноiмовiрними, тобто мають одну й ту саму iмовiрнiсть.

Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження iмовiрностей

Комбiнаторика - роздiл математики, що вивчає питання про те, скiльки комбiнацiй певного типу можна скласти з даних предметів (елементiв). Як при вирiшеннi задач з використанням класичного визначення ймовiрностi, так i надалi нам знадобляться деякi формули комбiнаторики.

Наведемо найбiльш уживанi з них.

Комбінаторика

• Якщо з безлiчi предметiв обирається деяка пiдмножина, то її називають вибiркою.

• Вибiрки бувають впорядкованi i невпорядкованi.

• У впорядкованiй вибiрцi суттєвим є порядок, в якому слідують її елементи, iншими словами, змiнивши порядок елементiв, ми отримаємо iншу вибiрку.

Наприклад,

iз цифр 1, 2, 3, 4, 5 можна скласти наступнi тризначнi числа

123, 431, 524, ... i т.д.

Це впорядкованi трьохелементнi вибiрки, оскiльки 123 i 132 - рiзнi числа.

Або iнший приклад:

з 30-ти однакових деталей обрати двi - будь-яка пара деталей являє собою неупорядковану двохелементу вибiрку, оскiльки їх порядок не важливий.

Розміщення

Розмiщеннями з n рiзних елементiв по m елементiв (m ≤ n) називаються комбiнацiї, складенi з даних n елементiв по m елементiв, якi вiдрiзняються або самими елементами, або порядком елементiв.

Число розмiщень без повторень з n по m (n рiзних елементiв) обчислюється за формулою:

Розмiщеннями з повтореннями iз n елементiв по m називаються впорядкованi m-елементнi вибiрки, в яких елементи можуть повторюватися.

Число розмiщень з повтореннями обчислюється за формулою:

Наприклад, розглянемо, як iз трьох елементiв a,b,c можна скласти розмiщення по два елементи :

без повторень

ab, ac, bc, ba, ca, cb

(за формулою ()

з повтореннями

aa, bb, cc, ab, ac, bc, ba, ca, cb

(за формулою ()

Перестановки

Перестановками з n рiзних елементiвназиваються розмiщення з цих n елементiв по n.

Перестановки можна вважати окремим випадком розміщень при m = n.

Отже, число всiх перестановок iз n елементiв без повторень обчислюється за формулою: P_n = n(n − 1)(n − 2)... · 2 · 1 = n!

Число перестановок з повтореннями (k рiзних елементiв, де елементи можуть повторюватися m1, m2, ..., mk раз i

m₁ + m₂ + ... + m_k = n, де n - загальна кiлькiсть елементiв)

обчислюється за формулою:

Розглянемо попереднiй приклад, коли є три елементи a,b,c. Якi перестановки з цих букв можна отримати i скiльки таких наборiв вийде, якщо:

• лiтери в наборi не повторюються;

• лiтера a повторюється два рази?

Розв’язок

У першому випадку вийдуть набори: abc, acb, bac,bca, cab, cba.

За формулою (Pn = n!) маємо P₃ = 3! = 6.

У другому випадку вийдуть набори:

aabc, aacb, baca,bcaa, caab, cbaa, abac, acab, abca, acba, baac, caab.

За формулою () маємо

Поєднання

Поєднаннями (сполученнями) з n елементiв по m елементiв називаються комбiнацiї, складенi з даних n елементiв по m елементiв, якi рiзняться хоча б одним елементом.

Вiдмiннiсть сполучень вiд розмiщень в тому, що в сполученнях не враховується порядок елементiв.

Число поєднань (сполучень) без повторень (n рiзних елементiв,

узятих по m) обчислюється за формулою:

Числа є коефiцiєнтами у формулi бiнома Ньютона i тому часто називаються біноміальними коефiцiєнтами, якi можна знайти за допомогою трикутника Паскаля.

Число сполучень c повтореннями (n елементiв, узятих по m, де елементи в наборi можуть повторюватися) обчислюється за формулою

Схема визначення формули

8