Випадкова величина

Одним iз найважливiших понять теорiї ймовiрностей є поняття про випадковi величини.

Випадковою величиною називається величина, яка в результатi дослiду може прийняти те чи iнше значення, при цьому заздалегiдь невiдомо, яке саме.

Приклади випадкових величин:

• число влучень при трьох пострiлах;

• число викликiв, що надходили на телефонну станцiю за добу;

• частота влучення при 10 пострiлах.

У всiх трьох наведених прикладах випадковi величини можуть приймати окремi (iзольованi) значення, якi можна заздалегідь перерахувати.

Так,

в прикладi 1) цi значення: 0, 1, 2, 3;

в прикладi 2): 1, 2, 3, 4,...;

в прикладi 3): 0; 0,1; 0,2; ...;1,0.

Iснують випадковi величини iншого типу, наприклад:

• абсциса точки влучення при пострiлi;

• помилка зважування тiла на аналiтичних вагах;

• швидкiсть лiтака в момент виходу на задану висоту;

• вага навмання взятого зерна пшеницi i т.д.

Можливi значення таких випадкових величин не вiдокремленi один вiд одного; вони безперервно заповнюють певний промiжок, який iнодi має рiзко вираженi межi, а частiше - невизначенi, розпливчастi границi.

Такi випадковi величини, можливi значення яких безперервно заповнюють певний промiжок, називаються безперервними випадковими величинами.

Якщо "класична"теорiя ймовiрностей оперувала переважно з подiями, то сучасна теорiя ймовiрностей має справу з випадковими величинами.

Наведемо приклади типових для теорiї ймовiрностей прийомiв переходу вiд подiй до випадкових величин.

Здiйснюється дослiд (випробування), в результатi якого може з’явитися або нi деяка подiя A.

Замiсть подiї можна розглянути випадкову величину x, яка дорiвнює 1, якщо подiя A вiдбувається, i дорiвнює 0, якщо подiя не вiдбувається.

Випадкова величина x, очевидно, є дискретною; вона має два можливих значення: 0 i 1.

Ця випадкова величина називається характеристичною випадковою величиною подiї A.

На практицi часто замiсть подiй виявляється зручніше оперувати їх характеристичними випадковими величинами.

Наприклад, якщо проводиться декiлька випробувань (дослiдiв), в кожному з яких можлива поява подiї A, то загальне число появ цiєї подiї дорiвнює сумi характеристичних випадкових величин подiї A в усiх дослiдах.

З iншого боку, дуже часто для обчислення ймовiрностi подiї виявляється зручно пов’язати цю подiю з якоюсь безперервною випадковою величиною (або системою безперервних величин).

Так, наприклад, вимiрюються координати будь-якого об’єкту.

Класичне визначення ймовiрностi.

Cукупнiсть подiй утворює повну групу подiй для даного випробування, якщо його результатом обов’язково стає хоча б одне з них.

Наведемо приклади повних груп подiй:

• випадiння герба i випадання решки (цифри) при одному киданнi монети;

• влучення в цiль i промах при одному пострiлi;

• випадання одного, двох, трьох, чотирьох, п’яти i шести очок при одному киданнi гральної кiстки.

Розглянемо повну групу попарно несумiсних подiй x₁, x₂,...,xn, пов’язану з деяким випробуванням.

Припустимо, що в цьому випробуваннi здiйснення кожної з подiй x_i (i = 1, 2,...,n) рiвноможливе, тобто умови випробування не створюють переваги появi якої-небудь подi перед iншими можливими.

Подiї x₁, x₂,...,xn, що утворюють повну групу попарно несумiсних i рівно можливих подiй, називають елементарними подiями.

До прикладу випробування з пiдкиданням гральною кiстки. xi - подiя, яка полягає у тому, що кiстка випала гранню з цифрою i.

Подiї x₁, x₂,...,x₆ утворюють повну групу попарно несумiсних подiй.

Оскiiльки гральна кiстка передбачається однорiдною i симетричною, то події x1, x2,...,x6 є рiвноможливими, тобто елементарними.