1.2. Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.27). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
(2.1)
где
амплитуда
возмущающей силы,
циклическая
частота возмущения.
Общее
решение
неоднородного дифференциального
уравнения (1.27) складывается из общего
решения однородного уравнения
и частного решения
неоднородного:
.
Однородное дифференциальное уравнение,
соответствующее данному неоднородному
(1.27), имеет вид:
(2.2)
Решение этого уравнения ищем в виде функции
(2.3)
где
и
неопределенные
постоянные величины.
Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:
Так как
мы ищем нетривиальное решение, то
Следовательно, должно выполняться
условие
(2.4)
Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:
(2.5)
В случае
общее решение уравнения (2.2) имеет вид:
(2.6)
где
постоянные
интегрирования,
(2.7)
Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера
нетрудно представить в виде:
(2.8)
где
постоянные
интегрирования.
Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения
(2.11)
Частное решение ищем в виде правой части
(2.12)
Подставляя (2.12) в (2.11), после несложных преобразований получаем
Сравнивая
коэффициенты при соответствующих
тригонометрических функциях справа и
слева, получаем систему алгебраических
уравнений для определения постоянных
и
:
Решая
эту систему, получаем следующие выражения
для коэффициентов
и
:
(2.13)
Таким образом, решение (2.12) определено. Складывая (2.8) и (2.12), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.11)
(2.14)
Константы
и
определяются из начальных условий
(1.27). Для этого найдем производную по
времени от (2.14)
(2.15)
Подчинив (2.14) и (2.15) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант
.
Решая эту систему, получаем:
(2.16)
1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).
Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения
(3.1)
и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс
(3.2)
В соответствии с расчетными схемами (рис. 3) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат
Тело 1:
Проекция на ось Ох:
Проекция на ось Оу:
Тело 2:
,
.
Проекция на ось Ох:
Проекция на ось Оу:
,
следовательно,
Тело 3:
,
Проекций на ось Ох нет.
Проекция
на ось Оу:
,
следовательно,
Тело 4:
Проекции на ось Ох нет.
Проекция на ось Оу:
В результате получаем систему уравнений:
,
,
,
,
(3.3)
,
.
Уравнения (3.3) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций
Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение движения системы, и выражения для определения реакций.