1.1. Постановка второй основной задачи динамики системы

Расчетная схема представлена на рис.2.

На рис. 2 обозначен:

силы тяжести,

- нормальная реакция опорной плоскости,

упругая реакция пружины,

реакция подшипника блока 3,

- сила вязкого сопротивления,

возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые). Будем определять её положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

(1.1)

где T- кинетическая энергия системы,

- сумма мощностей внешних сил,

- сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: «Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы».

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-4:

(1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

(1.3)

Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия равна:

(1.4)

Блок 3 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига:

(1.5)

Тело 4 движется поступательно, следовательно:

(1.6)

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

(1.7)

Выразим . Положивполучим

(1.8)

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5),(1.6) в (1.7) с учетом (1.8), получаем:

(1.9)

или

(1.10)

где

(1.11)

Величину будем называть приведенной массой.

Найдем производную от кинетической энергии по времени

(1.12)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) – сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения

(1.13)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

(1.14)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

Сумма мощностей остальных сил

(1.15)

или, раскрывая скалярные произведения,

(1.16)

С учетом кинематических соотношений (1.8) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1.17)

или

(1.18)

где

(1.19)

Величину будем называть приведенной силой.

(1.20)

Сила вязкого сопротивления Приведенную силу с учетом последних формул дляизапишем в виде:

(1.21)

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.21) иполучаем условие равновесия системы

(1.22)

Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины

(1.23)

Учитывая (1.22) в (1.21), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

(1.24)

Подставим выражение для производной от кинетической энергии (1.12) и сумму мощностей всех сил (1.18) с учетом (1.24) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

(1.25)

, (1.26)

где

Величину с_пр будем называть приведенной жесткостью.

Запишем последнее уравнение в виде:

(1.27)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

циклическая частота свободных колебаний,

показатель степени затухания колебаний.

Запишем начальные условия движения:

(1.28)

Выражения (1.27) и (1.28) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.