2.2 Оптимизация бизнес-процесса «Управление ресурсами (сырье) для изготовления продукции оао «Хлебная база №63»

Задачи линейной оптимизации относятся к широко распространённому классу задач, встречающихся в различных сферах деятельности: в бизнесе, на производстве, в быту. Как оптимально распорядиться бюджетом или за минимальное время добраться до нужного места в городе, как наилучшим образом спланировать деловые встречи, минимизировать риски капитальных вложений, определить оптимальные запасы сырья на складе – это те задачи, в которых нужно найти наилучшее из всех возможных решений. Различают следующие типы линейных оптимизационных задач:

- задачи о перевозках, например, минимизация расходов по доставке товаров с нескольких фабрик в несколько магазинов с учетом спроса;

- задачи распределения рабочих мест, например, минимизация расходов на содержание штата с соблюдением требований, определенных законодательством;

- управление ассортиментом товаров: извлечение максимальной прибыли с помощью варьирования ассортиментным набором товаров (при соблюдении требований клиентов). Аналогичная задача возникает при продаже товаров с разной структурой затрат, рентабельностью и показателями спроса;

- замена или смешивание материалов, например, манипуляция материалами с целью снижения себестоимости, поддержания необходимого уровня качества и соблюдения требований потребителей;

- задача о диете. Из имеющихся в распоряжении продуктов требуется составить такую диету, которая, с одной стороны, удовлетворяла бы минимальным потребностям организма в питательных веществах (белки, жиры, углеводы, минеральные соли, витамины), с другой - требовала бы наименьших затрат;

- задача распределения ресурсов, например, распределение ресурсов между работами таким образом, чтобы максимизировать прибыль, или минимизировать затраты, или определить такой состав работ, который можно выполнить, используя имеющиеся ресурсы, и при этом достичь максимума определенной меры эффективности, или рассчитать, какие ресурсы необходимы для того, чтобы выполнить заданные работы с наименьшими издержками.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

(1)

п

(2)

(3)

(4)

ри условиях:

где a_ii, b_i, c_j– заданные постоянные величины и k  m.

Функция (1) называется целевой функцией задачи, а условия (2) - (4) - ограничениями задачи.

Совокупность чисел x = (x₁, x₂, … , x_n), удовлетворяющих ограничениям задачи, называется допустимым решением. Решение, при котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

В таблице 2 представлены основные показатели, необходимые для решения задач по оптимизации управления ресурсами (сырье) для изготовления продукции ОАО «Хлебная база №63».

Таблица 2 – Основные показатели для решения задач по оптимизации управление ресурсами

Пi	Продукция, выпускаемая
A, B, C	Используемое для производства сырье
xi	Суточный объем производства изделия Пi (тыс. шт.)

ОАО «Хлебная база №63» выпускает хлебную и кондитерскую продукцию. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для ее производства используются три вида ресурсов (сырья) исходных продукта - мука, сода и соль. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья на 1 тыс. кондитерских и хлебобулочных изделий приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Расходы сырья на 1 тыс. кондитерских и хлебобулочных изделий

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)			Максимально возможный запас (т)
	Хлебобулочные изделия	Кондитерские изделия
Соль	1	2	6
Мука	2	1	8
Сода	1	0,8	5

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на кондитерские изделия никогда не превышает спроса на хлеб более чем на 1 тыс. шт. Кроме того, установлено, что спрос на кондитерские изделия никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки. 

Оптовые цены 1 тыс. шт. хлебобулочных изделий равны 3 тыс. руб.

Кондитерские - 2 тыс. шт. 

В рамках прохождения практики было определено оптимальное количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида для достижения предприятием максимального дохода от реализации продукции.

Построение математической модели следует начать с идентификации переменных (искомых величин). После этого определяются целевая функция и ограничения через соответствующие переменные.

Так как нужно определить объёмы  производства каждого вида продукции, переменными являются: 

X₁ - суточный объём производства хлеба в тыс. шт.;

Х₂ - суточный объём производства кондитерских изделий в тыс. шт.

Так как стоимость 1 тыс. изделий хлебобулочных изделий равна 3 тыс. руб., суточный доход от её продажи составит 3Х₁тыс. руб. Аналогично доход от реализации Х₂ тыс. шт. кондитерских изделий составит 2Х₂ тыс. руб. в сутки. При допущении независимости объёмов сбыта каждого из изделий общий доход равен сумме двух слагаемых - дохода от продажи двух видов продукции.

Обозначив доход (в тыс. руб.) через f(X), можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения X₁ и Х₂, максимизирующие величину общего дохода: 

f(X) = 3X₁ + 2X₂, Х = (Х₁, Х₂)  (5)

При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход имеющегося видов сырья и спрос на изготовляемую продукцию.

Это приводит к трём ограничениям: 

Х₁ + 2Х₂ ≤ 6 (соль),

2Х₁ + Х₂ ≤ 8 (мука),

Х₁  + 0.8Х₂ ≤ 5 (сода).

Ограничения на величину спроса на продукцию имеют вид: 

Х₂ – X ₁ ≤ 1 (соотношение величин спроса на хлебобулочные и кондитерские изделия), 

Х₂ ≤ 2 (максимальная величина спроса на изделия кондитерские изделия). 

Необходимо также ввести условия неотрицательности переменных, т.е. ограничения на их знак: 

X ₁ ≥ 0

Х₂ ≥ 0

Эти ограничения заключаются в том, что объёмы производства продукции не могут принимать отрицательных значений.  Следовательно, математическая модель записывается следующим образом.  Определить суточные объёмы производства (X ₁ и Х₂) на хлебобулочные и кондитерские изделия в тыс. шт., при которых достигается 

max f(X) = 3 X ₁ + 2 X ₂

при ограничениях: 

X₁ +   2Х₂ ≤ 6

2Х₁ +  Х₂ ≤ 8

X₁ + 0.8Х₂≤  5

- X₁ + Х₂ ≤ 1

Х₂ ≤ 2

X₁ ≥0,

Х₂≥ 0.

В результате произведенных расчетов получаем, что оптимальное значение функции составляет 12,66 тыс. руб. таким образом, максимальное значение прибыли, которое может получить ОАО «Хлебная база №63», составляет 12 666 рублей при:

- 3 333 шт. хлебобулочных изделий, выпускаемых в сутки;

- 1 333 шт. кондитерских изделий.

Если конкретизировать условие задачи, то получаем, что в реальности на рынок Оренбургской области выпускается хлеб высший сорт, батоны, пряники и печенье, то есть по два вида каждой продукции, которое было оценено ранее. Расходы сырья на 4 вида обозначенной продукции представлены в таблице 4.

Таблица 4 - Расходы сырья на 1 тыс. кондитерских и хлебобулочных изделий

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)				Максимально возможный запас (т)
	Хлеб высший сорт	Батон	Печенье	Пряники
Соль	0,7	0,3	1	1	6
Мука	0,6	0,4	0,5	0,5	8
Продолжение таблицы 4
Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)				Максимально возможный запас (т)
	Хлеб высший сорт	Батон	Печенье	Пряники
Сода	0,6	0,4	0,3	0,5	5

Отсюда условие задачи принимает вид

max f(X) = 2 X ₁ + X ₂ + 0,8 X ₃ + 1,2 X ₄

при ограничениях: 

0,7X₁ +   0,3Х₂ + Х₃ + Х₄ ≤ 6

0.6Х₁ +  0,4Х₂ + 0,5Х₃ + 0,5Х₄ ≤ 8

0,6X₁ + 0,4Х₂ + 0,3 Х₃ + 0,5 Х₄ ≤  5

- (X₁ + Х₂ ) + Х₃ + X₄  ≤ 1

Х₃ + X₄  ≤ 2

X₁ ≥0,

X₂ ≥0,

X₃ ≥0,

Х₄≥ 0.

Где оптовые цены 1 тыс. шт. хлеба высший сорт равны 2 тыс. руб., батоны - 1 тыс. руб.

Кондитерские изделия - пряники - 0,8 тыс. шт., печенье - 1,2 тыс. шт.

Таким образом, решение задачи становится следующим: при изменении показателей потребностей в ресурсах четырех видов выпускаемой продукции, максимальное значение прибыли, которое может получить ОАО «Хлебная база №63», составляет 16 666 рублей при 8 333 шт. хлеба высший сорт, выпускаемого в сутки.

Поскольку при имеющем наборе исходных данных получение максимальной прибыли возможно только выпуская хлеб высший сорт, тогда как суточная норма производства остальных виды продукции - 0, то имеет смысл выдать некоторые рекомендации предприятию по объемам производства, а именно:

f = 2 x₁ + x₂ +0,8 x₃ +1,2 x₄

принимает максимальное значение, при условии следующих ограничений:

0,8 x₁ + 0,2 x₂ +0,8 x₃ +1,2 x₄≤7

0,6 x₁ + 0,4 x₂ + 0,5 x₃ + 0,5 x₄ ≤ 9

0,5 x₁ + 0,5 x₂ + 0,2 x₃ + 0,6 x₄ ≤ 4

- x₁ - x₂ + x₃ + x₄ ≤ 1

x₃ + x₄ ≤ 2

x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0,

тогда максимальная прибыль составит 16 000 рублей, если производить в сутки 7,5 тыс. хлеба высший сорт и 1,25 тыс. печенья.