Раздел 4. Геометрические характеристики плоских сечений.

При определении положения центра тяжести сечения необходимо определять значения статических моментов этого сечения.

Статическими моментами площади сечения относительно осей и называются определенные интегралы вида:

где – площадь сечения; и - координаты элемента площади .

Если известно положение центра тяжести сечения, то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам, а именно

где и – координаты центра тяжести сечения.

Статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

Координатные оси, для которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями, а моменты инерции относительно этих осей – главными моментами инерции.

Осевой момент сопротивления – отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от неё до наиболее удалённой точки сечения:

.

Полярный момент сопротивления сечения – это отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удалённой точки сечения:

.

Раздел 5. Сдвиг. Кручение.

Чистый сдвиг (или срез) – это такой вид нагружения, при котором в сечении стержня появляется поперечная сила, а остальные ВСФ равны нулю.

Большинство соединений в машиностроении (резьбовые, сварочные, заклёпочные, шпоночные и т. д.) работают на срез.

Кручение – это такой вид нагружения при котором в сечении стержня возникает только крутящий момент , а остальные ВСФ равны нулю.

Брус, работающий на кручение, называют валом.

Деформация кручения возникнет в том случае, если на вал воздействуют внешние скручивающие моменты, то есть моменты относительно оси .

Раздел 6. Изгиб прямого сечения.

Виды изгиба:

1. Прямой изгиб – изгиб, при котором вся внешняя нагрузка находится в одной плоскости, и сам стержень изгибается в этой же плоскости.

При чистом изгибе в сечении стержня возникает изгибающий момент или , а остальные ВСФ равны нулю.

При поперечном изгибе в сечении стержня одновременно возникают поперечная сила и изгибающий момент ( и или и – 2 ВСФ).

2. Косой изгиб.

При плоском косом изгибе внешняя нагрузка, приложенная к стержню, лежит в одной плоскости, но не совпадает ни с одной из главных плоскостей стержня.

В этом случае сам стержень будет изгибаться в плоскости, не совпадающей с плоскостью воздействия нагрузки, т. е. косо по отношению к ней (, , и – 4 ВСФ).

При пространственном изгибе внешняя нагрузка, приложенная к стержню, лежит одновременно в двух или более плоскостях (, , и – 4 ВСФ).

Внешняя нагрузка обычно задана, поэтому для нахождения всех действующих на балку сил необходимо вычислить реакции опор. Наименьшее число связей, обеспечивающее неподвижность балки в одной плоскости, равно трём. Уравнения равновесия, из которых определяются опорные реакции, могут быть записаны тремя различными способами:

При расчётах балок на прочность необходимо знать, как ВСФ меняются по длине балки и уметь строить их эпюры.

Эта задача решается на основе метода сечений, согласно которому поперечная сила в произвольном сечении балки находится как алгебраическая сумма внешних сил, действующих на отсечённую часть балки.

Аналогично определяется и изгибающий момент в сечении, который вычисляется как алгебраическая сумма моментов относительно центра тяжести данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсечённой части балки.

Правило знаков для ВСФ при изгибе:

1. Для продольной силы : , если стержень работает на растяжение; , если стержень работает на сжатие.

2. Поперечная сила будет считаться положительной, если она стремится повернуть рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки.

3. Изгибающий момент будет считаться положительным, если он будет стремится отогнуть рассматриваемую часть стержня вверх (стремится вызвать растяжение нижних продольных волокон балки и сжатие верхних продольных волокон балки).

Наиболее рациональное сечение выбирается исходя из момента сопротивления сечения балки при изгибе, а также площади поперечного сечения балки. Коэффициент определяется как отношение момента сопротивления сечения балки к площади этого сечения:

.

Размерность этого коэффициента – единицы длины.

Нейтральный слой – слой, отделяющий зону сжатия от зоны растяжения, т. е. не меняющий своей длины после нагружения.

Нейтральная линия – линия, по которой нейтральный слой пересекается с плоскостью сечения.

Положение нейтральной линии при прямом изгибе: нейтральная линия всегда будет проходить через центр тяжести сечения, также она будет совпадать с одной из главных осей сечения, если возникает момент , то с осью , если , то с осью .