Раздел 11. Устойчивость сжатых стержней

• формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня

Рассмотрим шарнирно опёртый центрально сжатый стержень постоянного сечения (рис. 21.2). Будем считать, что сжимающая сила достигла своего критического значения и стержень сохраняет устойчивое равновесие как в прямолинейной, так и в деформированной, т. е. изогнутой форме. В этом случае в произвольном поперечном сечении стержня возникает изгибающий момент

• влияние условий закрепления стержня на величину критической силы

Формулу Эйлера, полученную для шарнирно опёртого стержня, можно обобщить и на другие способы закрепления. Легко увидеть, что у стержней, показанных на рис. 21.4, критическая сила совпадает. При любых условиях закрепления можно выделить ту часть длины стержня, на которой прогибы имеют форму полуволны синусоиды. Эта часть стержня называется приведённой длиной и обозначается l_пр (рис. 21.4).

Её можно трактовать как условную длину некоторого шарнирно опёртого стержня с такой же критической силой, как у исследуемого стержня с другими условиями закрепления. Тогда формулу Эйлера для стержня с произвольными граничными условиями можно записать следующим образом:

Для стержня, защемлённого по концам, в изогнутой форме имеем две полуволны – одну в центральной части стержня и две четверти полуволны по краям, т. е. μ = 0,5.

Для стержня, один конец которого защемлён, а другой закреплён шарнирно, число полуволн оказывается дробным: п ≈ 1,5, в этом случае μ = 0,7.

Пользуясь изложенной методикой, несложно определить приведённую длину и при других условиях закрепления. При этом необходимо учитывать, что условия закрепления в разных плоскостях могут быть различны. В таких случаях критическая сила в каждой из плоскостей должна вычисляться отдельно, а в качестве окончательного значения принимается наименьшее из полученных значений.

• критические напряжения

• пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера получена на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси стержня, которое, в свою очередь, предполагает, что материал подчиняется закону Гука. Таким образом, формула Эйлера оказывается справедливой лишь до тех пор, пока величина нормальных напряжений, вызванных сжимающей силой, не превышает предела пропорциональности материала. Введём понятие критических напряжений, т. е. напряжений, возникающих в поперечном сечении от действия критической силы:

пре

• расчет на устойчивость за пределом пропорциональности

Рис. 21.6

На рис. 21.6 зависимость (21.12) имеет вид наклонной прямой.

Разрушение коротких жёстких стержней (λ<λ₀) происходит без потери устойчивости, для них ограничиваются расчётом на прочность. Для большинства конструкционных материалов значения λ₀, λ_пр, как и значения коэффициентов a, b, имеются в справочниках по сопротивлению материалов. Для углеродистых сталей, например, λ₀ = 40…60.

Диаграмму, приведённую на рис. 21.6, обычно называют полным графиком критических напряжений.

Пример. Найти коэффициент запаса по устойчивости для стальной стойки, изготовленной из швеллера № 18 (рис. 21.7).

Рис. 21. 7

Решение. Для выбора расчётной формулы сначала определим гибкость стойки. Минимальным радиусом инерции для швеллера будет величина i_у = 2, 04 см.

Принимая коэффициент приведения длины равным 0,7, получаем

• полный график критических напряжений

Основные геометрические виды наиболее распространенных плоских сечений