9. 15. MathCad-та дифференциалдау және интегралдау

MathCAD-та сандық дифференциалдау үшін келесі әреткеттерді істеу керек:

1. Аргументтің өзгеру аралығын беру

2. Дифференциалданатын функцияны жазу керек

3. Есептеу панелінен (calculus) дифференциалдау белгісін енгізу керек.

Сурет 1-де берілген функциялардың х өзгеру аралығында бірінші және екінші туындылары берілген.

Сурет 1. MathCAD - та сандық дифференциалдау

MathCADта анықталған интегралды есептеу үшін келесі әрекеттерді орындау керек:

1. Арифметикалық панельден интеграл және туындының суреті бар белгіні басып дифференциалдау және интегралдау панелін шақырамыз.

2. Экранда y := тереміз, белгілі интеграл суреті бар белгіні басып, экранға шығарамыз және интеграл шектері мен функциясын береміз.

3. y= теріп Enter басамыз. Жауабын шығарады.

Символдық (аналитикалық) түрде дифференциалдау және интегралдауды қарастырайық.

1. Дифференциалдау. Берілген функцияны дифференциалдау үшін, = белгісінің орнына символдық есептеу панелінен  белгісін қоямыз.

2. Квадратуралық интегралдау.

Төменде символдық интегралдауға мысал берілген. Анықталмаған интеграл белгісі есептеу панелінен беріледі, одан кейін символдар панелінен  белгісін қоямыз.

Мысал1.

Мысал2.

Мысал3. Берілген интеграл символды MathCADта шешілмейді, оны MathCAD былай істейді.

10. Функцияны Тейлор – Маклорен қатарына жіктеу .

Маклорен қатарына жіктеу символдық меню командасы арқылы жүзеге асады, яғни: symbolics (символдық)– variable(айнымалы)- expand to series(қатарға жіктеу).

Мысалы: е^x функциясын ноль маңында жіктеу үшін:

1.Функцияны тереміз және оны белгілеп аламыз.

2.Менюден symbolic-ті басамыз. Экран бетіне терезе шығады, осыдан variable-ді белгілейміз.

3. Пайда болған терезеден expand to series-ті басамыз.

4. order of approximation деген терезе ашылады .

5. 6 санын береміз, ОК басамыз және жауабын шығарып береді.

Кез келген х мәнін Тейлор қатарына жіктеу үшіе символдық терезедегі series батырмасын пайдаланамыз. Осы батырманы басқанда экранда келесі сөз шығады:

Бірінші төртбұрыш орнына таралу функциясы жазылады, екінші төртбұрыш орнына таралу жүретін өзгеріс функциясы, ал үшіншісіне оның орындалатын мәні жазылады. Сосын жауабы шығады.

М ысал 1.

11. 18. MathCad-та қарапайым дифференциалдық теңдеулерді енгізілген функциялар арқылы шешу. Дифференциалды теңдеулерді odesolve, rkfixed функцияларының көмегімен шешу

Дифференциалдық теңдеулер – бір немесе бірнеше белгісіз айнымалы функциясы бар теңдеулер. Егер теңдеуде бір айнымалыдан тәуелді туынды болса, онда ол қарапайым дифференцицалдық теңдеулер болып табылады.

Дифференциалдық теңдеулерді шешу – оның айнымалысының берілген интервалында белгісіз функцияны табу. Теңдеулермен бірге бастапқы шарты беріледі.

MathCad-та қарапайым дифференциалдық теңдеулерді әртүрлі әдіспен шешетін он үш енгізілген функциялар бар. Олардың көпшілігі дифференциалдық теңдеудің бірінші ретті жүйесі түрінде қажет етеді.

MathCad көмегімен бастапқы шарттары және іздейтін функциялары берілген Коши есебін шешуге болады. Көп жағдайда бірінші ретті дифференцицалдық теңдеулерді келесі түрде жазуға болады:

, (1)

(1) теңдеумен қатар бастапқы шарт, яғни қандай да бір t₀ нүктесіндегі у(t₀) функциясының мәні белгілі болу керек. Сондықтан [t₀, t] интервалы арасындағы у(t) функциясын табу керек.

MathCad-та енгізілген функциясының ішінде дифференциалдық теңдеуді шешетін тұрақты қадамды Рунге Кутта әдісі бар. Ол мына түрде жазылады: rkfixed( v,x₀,x_k,n,F). Мұнда v вектор түрінде жазылган бастапқы шарт, x₀, x_k – аргументтің бастапқы және ақырғы мәні, n- қадам саны, F- вектор түрінде жазылған жүйенің оң жақ бөлігі. Осы әдістің шешімі қадамды автоматты түрде таңдаумен болуы мүмкін. Ол үшін мына функция қызмет көрсетеді rkadapt(y, x1, x2, n points, D). Бұл әдістер дифференциалдық теңдеуді бірінші ретті теңдеулер жүйесіне келтіруді қажет етеді.

MathCad-тың соңғы версиясында теңдеулер жүйесін басқа түрге түрлендірмей шеше алатын odesolve(х, b) (ordinary differential equation solution – қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу) функциясы пайда болды. Бұндағы жақша ішіндегі х – интегралдау айнымалысы, b- аргументтің өзгеруінің жоғарғы шекарасы. Төменгі шекарасы нөлге тең.

Дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін Given/Odesolve блогы немесе енгізілген функциясы қолданылады. Given/Odesolve есептеу блогы бір қарапайым диффренциалдық теңдеуді Рунге-Кутта әдісімен шешу қарастырады және үш бөлімнен тұрады:

1) Given кілтті сөзінен;

2) дифференциалдық теңдеу мен логикалық оператор көмегімен жазылған бастапқы

шарттан у(t₀)=b;

3) Odesolve(t,t₁) – [t₀, t] интервалында t айнымалысына қатысты ҚДТ шешу үшін енгізілген функция.

rkfixed енгізілген функциясы ( тұрақты қадамды Рунге – Кутта әдісі) бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйелерін ғана шешуге мүмкіндік береді.

Жоғарғы ретті теңдеулерді бірінші ретті теңдеулер жүйесіне келтіру қажет. Кез келген жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде беруге болады. Үшінші ретті дифференциалды теңдеулерді мысал ретінде қaрaстырайық.

Мысал 2. Бастапқы шарттары t₀ =0, y(0)=1, және соңғы нүктесі t_k= 13 берілген екінші ретті теңдеуді Рунге- Кутта әдісімен шешуді қарастырайық.

Ол үшін деп белгілеп алайық. Осы белгілеулерді дифференциалдасақ , онда тең болады. Осы белгілеулермен екінші ретті теңдеуді екі бірінші ретті теңдеулер жүйесіне айналдырамыз.

Бірінші ретті теңдеулер жүйесі мына түрде болады:

Бастапқы шарт мына түрде болады: y₀(0) = 0, y₁(0) = 1.

Теңдеудің оң жағы мен бастапқы шарттарды вектор түрінде жазамыз

Сурет 3 –те жүйенің шешімі көрсетілген

Сурет 3. rkfixed.функциясының көмегімен дифференциалдық теңдеулерді шешу.

Жауап вектор түрінде және график түрінде алынған. Вектордың бірінші жолында айнымалының нөмері көрсетілген: z_{0 –} ол уақыт, z₁ - y₀ туынды_, z₂ - у функцияның өзі Жауапқа вектордың 11 ғана мәні шығарылған.

Бастапқы шарттар v векторымен берілген. j := 0..1000 деп жазу rkfixed функциясына қатысты емес, ол тек графикке қатысты жазылған. Функция ішінде 0 –13 интегралдау уақыты берілген.

Графиктің абцисса осінде матрицаның бірінші бағанасы z_j,0 аргументі қойылған ( бұл есепте – t уақыт), мұндағы j =0..1000