ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Томский межвузовский центр дистанционного образования
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине: Математические модели в экономике.
Сидоренко М. Г. Математические модели в экономике: Учебное пособие, 2000.
Вариант № 9.
Задание 1.
В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен Р и доходе Q. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.
Решение:
Описание бюджетного множества и его границы с помощью обычных неравенств.
Описание бюджетного множества и его границы с помощью векторных неравенств.
Графическое изображение.
Бюджетное множество есть тетраэдр ABCO. Треугольник АВС является его границей.
84/4 = 21 – координата А
84/7 = 12 – координата В
84/3 = 28 – координата С
Найдем объем бюджетного множества:
21×12×28/6 = 1176.
Задание 2.
Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
D = 500 – 10p; S = 50+5p.
Решение:
Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения, т.е.
500 – 10р=50+5р
15р = 450
р = 30
Равновесная цена р*=30 и выручка при равновесной цене
W(p*)=p* × D(p*)=p* × S(p*) = 6000
При цене объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:
При р×(500-10р) максимум достигается в точке р’=25
При р×(50+5р) максимум достигается в точке р’=-5
Таким образом максимальная выручка достигается при равновесной цене W(p)=6000.
Задание 3.
Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).
Решение:
Седловой точки нет. Обозначим оптимальную стратегию первого , искомую оптимальную стратегию второго
Выигрыш первого:
|
4 |
-3 |
-2 |
4 |
ху |
х(1 – у) |
у(1 – х) |
(1 – х)(1 – у) |
Находим средний выигрыш за партию Первого – математической ожидание случайной величины W(х,у):
М(х,у)=4ху – 3х(1 – у) – 2у(1 – х) + 4(1 – х)(1 – у)= 13ху – 7х – 6у + 4 = 13х(у – 7/13) – 6(у – 7/13) + 10/13 = 13(у – 7/13)(х – 6/13) + 10/13
Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы М(х,у*)М(х*,у*)М(х*,у).
Это выполняется при х*=6/13 и у*=7/13, так как именно в этом случае
М(х;7/13)=М(6/13;7/13)=М(6/13;у)=10/13.
Следовательно, оптимальная стратегия первого игрока есть ,
Второго - . Цена игры по определению равна v=M(P*,Q*)=10/13.
Задание 4.
Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами, заполнить схему межотраслевого баланса.
Решение:
Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:
матрицу коэффициентов второго порядка:
.
Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:
.
Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц (первый способ).
А) находим матрицу (Е – А):
.
Б) вычисляем определитель этой матрицы:
.
В) транспортируем матрицу (Е – А):
.
Г) находим алгебраическое дополнение для элемента матрицы :
Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.
Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х):
Определим элементы первого квадранта материального межотраслевого баланса:
Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находим как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта:
657.778 – (328.889 + 263.111 + 131.556) = –65
898.889 – (89.889 + 179.778 + 449.445) = 179.177
890 – (89 + 356 + 89) = 356
Производящие отрасли |
Потребляющие отрасли |
||||
1 |
2 |
3 |
Конечная продукция |
Валовая продукция |
|
1 |
328.889 |
89.889 |
89 |
150 |
657.778 |
2 |
263.111 |
179.778 |
356 |
100 |
898.889 |
3 |
131.556 |
449.445 |
89 |
220 |
890 |
Условно чистая продукция |
–65 |
179.177 |
356 |
470 |
|
Валовая продукция |
657.778 |
898.889 |
890 |
|
2446.667 |